Espace uniformément convexe

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En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d'espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces L^p pour $1<p<\infty.$ Le concept de convexité uniforme a été introduit par James A. Clarkson en 1936.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Notes et références
- 3.1 Notes
- 3.2 Références

[modifier] Définition

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach tel que, pour tout $ε > 0$ , il existe un $δ > 0$ pour lequel, pour tout couple de vecteurs avec $\|x\|\le1$ et $\|y\|\le 1,$ $\|x-y\|>\epsilon.$ implique $\frac 12 \|x+y\|< 1-\delta$ .^[1]

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les segments suffisamment longs inclus dans une boule ont leur milieu relativement loin du bord de la boule.

Il convient de noter que cette propriété ne peut pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan ${\mathbb R}^2$ , la norme || ||₂ est uniformément convexe, alors que la norme || ||₁ ne l'est pas.

[modifier] Propriétés

Le Théorème de Milman–Pettis énonce que tout espace uniformément convexe est réflexif.

Ce théorème a été prouvé indépendamment par D. Milman en 1938 et B. J. Pettis en 1939. S. Kakutani en donna une preuve différente en 1939, et J. R. Ringrose a publié ce qui est sûrement la preuve la plus courte en 1959.

[modifier] Notes et références

[modifier] Notes

↑ Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 51

[modifier] Références

(en) J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 396–414.
(en) O. Hanner, On the uniform convexity of $L p$ and $l p$ , Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
(en) S. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 169–173.
(en) D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, 20 (1938), 243–246.
(en) B. J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math. J. 5 (1939), 249–253.
(en) J. R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, J. London Math. Soc. 34 (1959), 92.