Espace d'ordres

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[modifier] Définitions

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant $2$ , c’est-à-dire $\forall g\in G$ , on a $g 2 = 1$

On distingue deux éléments remarquables $1$ et $- 1$ de $G$ , dits éléments distingués. On munit $G$ de la topologie discrète, où tout sous-ensemble est un ouvert-fermé.

On note $\widehat{G}=Hom(G,\mathbb{C})$ le groupe (Les morphismes sont les morphismes de groupes où $\mathbb{C}$ est consideré ici comme un groupe multiplicatif lui aussi, vu comme $\mathbb{C}^*$ ) topologique dual de $G$ .

Il est très clair, par la nilpotence des éléments de $G$ que $Hom(G,\mathbb{C}) = Hom(G,\mathbb{Z}_{2})$ avec $\mathbb{Z}_{2} = \{1,-1\}$ vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide $X\subset \widehat{G}$ .

Le couple $(X, G)$ est dit un pre-espace d'ordre si les deux axiomes suivants sont sont vérifiés:

$\mathcal{O}_{1}$ $X$ est un fermé de $\widehat{G}$

$\mathcal{O}_{2}$ $\sigma(-1) = -1, ~\forall ~\sigma\in X$

$\mathcal{O}_{3}$ $\sigma(g) = 1, ~\forall ~\sigma\in X \Rightarrow g=1$

L'axiome $\mathcal{O}_{3}$ est dit axiome de sépation, i.e. $X$ sépare les éléments de $G$ . Il équivalent au suivant:

$\mathcal{O}_{3}~'$ $g\neq h \Rightarrow \exists \sigma \in X : \sigma (g)\neq \sigma(h)$

Dans tout ce qui suivra, on garde à l'esprit que les éléments de $X$ sont des homomorphismes de groupes $G \longrightarrow \mathbb{Z}_{2}$ .

On peut commuter ce rôle avec ceux de $G$ également, i.e. voir $G$ comme étant un sous-groupe du groupe $\widehat{X}$ des applications continues $X \longrightarrow \mathbb{Z}_{2}$ .