Discuter:Espace séparable

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Les espaces topologiques considérés sont séparés. Un espace séparable, même compact, peut avoir une puissance supérieure à celle du continu. Une catégorie plus restreinte et plus intéressante d'espaces, qui mérite un article, est celle d'espace à base dénombrable ; pour un espace métrisable, être séparable ou à base dénombrable sont équivalents, et un espace compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable. Enfin un espace à base dénombrable a au plus la puissance du continu. CD 15 jan 2005 à 00:44 (CET)

[modifier] démonstration

La démonstration des sous-espaces métrisables et séparables ne me parait pas convainquante :

- d'abord, il ne suffit pas de trouver un a_n,m mais une infinité pour prouver l'adhérence.

- ensuite, pour assurer l'existence d'un a_n,m, j'ai plutôt l'impression qu'il faille m<1/ε i.e. 1/m>ε car ainsi on sait qu'au moins a est une solution.

- enfin la formule finale ...<ε+1/m<ε serait plutôt ...<ε+1/m<2ε sous réserve de ce qui vient d'être dit.

Comme démonstration, je propose plutôt :

Pour tout 1/2>ε>0, il existe une infinité de n tel que d(x_n,a)<ε. Soit m un entier non nul tel que m∈[1/2ε , 1/ε[ (existence assuré par ε<1/2 car alors 1/ε-1/2ε≥1). Donc ε<1/m≤2ε ce qui assure l'existence des a_n,m pour tous les n considérés. Finalement d(a,a_n,m)<ε+1/m≤3ε