Discuter:Ensemble de Cantor

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

WikiProjet Mathématiques
 Ensemble de Cantor fait partie du projet Mathématiques, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cet article ou visiter la page du projet, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le portail Mathématiques pourrait aussi vous intéresser.
B Cet article a été classé comme d'Avancement B selon le Tableau d'évaluation du projet. (Voir les statistiques)
Moyenne Cet article a été classé comme d'Importance moyenne selon le Tableau d'évaluation du projet.

Bonjour,

les articles Ensemble de Cantor et Ensemble triadique de Cantor parlent du même objet mathématique. Le deuxième article est beaucoup moins complet. Vu que toutes les informations de celui-ci sont largement développées dans le premier article, je propose de faire une redirection de «Ensemble triadique de Cantor» vers «Ensemble de Cantor». Je ne sais pas si l'«Ensemble de Cantor» est plus utilisé mais les liens vers cet article sont plus nombreux (13 contre 1). La seule objection est que «Ensemble triadique de Cantor» semble plus précis.

Madiot - φ (discuter) 2 mars 2006 à 00:41 (CET)

Salut, je partage la même analyse. J'ai incorporé le peu qui figurait dans Ensemble triadique de Cantor et pas dans Ensemble de Cantor (essentiellement une démo de topologie). Pour la dénomination Ensemble « triadique » de Cantor, elle est effectivement légèrement plus précise puisqu'on donne aussi le nom d'« ensembles de Cantor » à des généralisations (not. d'autres bases que 3), mais ils peuvent rentrer dans le même article puisqu'ils sont directement inspirés de l'exemple original de Cantor. 4 mars 2006 à 13:58 (CET)

[modifier] Injection?

La propriété que énoncée pour la fonction f m'ennuie: elle semble effectivement attribuer la même image 0,1 à 0,2 et 0,022222222…

Mais 0,02222…=0,1. Est-ce que cet élément fait partie de K3? Bourbaki 7 avril 2006 à 22:27 (CEST)

L'image de 0,2 est 0,1. L'image de 0,022222222222222222... est 0,01111111111111111111111...

En base 2, 0,1 = 0,0111111111... Et comme nous sommes en base 2, non, l'image 0,1 ne fait pas partie de K3, car égale à 1/2.

MrKoala, 18 avril 2006 à 14:48 (CEST)


[modifier] propôsition de complément

la représentation en base 3 de l'ens de Cantor permet de construire une surjection continue du segmet sur le carré.


L'application qui à (\epsilon_n)_{n\ge 1} associe le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{2\epsilon_n}{3^n} est un homéomorphisme de \{0,1\}^\N\, sur l'ensemble de Cantor K_3\,, que nous noterons h\, Soit par ailleurs d\, l'application de \{0,1\}^\N\, dans [0,1]\, donnée par d\big(\epsilon_n)_{n\ge 1})\big)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\epsilon_n}{2^n}\, (développement en base 2)


Alors d\circ h^{-1}\, est une application continue de K_3\, sur [0,1]\,. D'autre part, en associant à (\epsilon_n)_{n\ge 1} les deux suites (\epsilon_{2n})_{n\ge 1} et (\epsilon_{2n-1})_{n\ge 1}, on obtient un homéomorphisme de \{0,1\}^\N\, sur \{0,1\}^\N\times \{0,1\}^\N\,. En mettant tout cela ensemble, on obtient une surjection continue de K_3\, sur [0,1]\times [0,1]\,, qui se prolonge (par linéarité par exemple) en une application continue de [0,1]\, sur [0,1]\times [0,1]\,. Jaclaf 17 décembre 2006 à 10:14 (CET)

Tu sais en prenant un chiffre sur deux on a une surjection du segment sur le carré immédiate, et dans n'importe quelle base. Bourbaki 11 janvier 2007 à 23:49 (CET)

oui mais cette surjection N'EST PAS CONTINUEJaclaf 25 janvier 2007 à 15:06 (CET)

regardons par exemple la première composante 0.1 envoie sur 0, alors que 0.09999999999 s'envoie sur 0.999999 qui tend vers 1 quand le nombre de 9 tend vers l'infini Jaclaf 26 janvier 2007 à 15:36 (CET)