Dilatation (géométrie)

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Dilatation

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les transvections.

Sommaire

1 Dilatation vectorielle
2 Matrice de dilatation
3 Dilatation affine
4 Dilatation projective
5 Dilatation orthogonale
6 Réalisation d'une dilatation par perspective parallèle
7 Liens

[modifier] Dilatation vectorielle

Une dilatation d'un espace vectoriel $E\,$ est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.

Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe de $GL(E)\,$ , isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.

En dimension finie, un automorphisme de $E\,$ est diagonalisable ss'il est produit commutatif de dilatations, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe linéaire $GL(E)\,$ est engendré par les dilatations.

[modifier] Matrice de dilatation

Dans une base de $E\,$ formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la transvection a pour matrice une matrice du type $diag(1,1,..,1,\lambda,1,..,1)=I_n+(\lambda -1) E_{ii}\,$ . Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.

[modifier] Dilatation affine

Une dilatation d'un espace affine $E\,$ est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donné deux points $A\,$ et $A'\,$ tels que la droite $(AA')\,$ n'est pas parallèle à un hyperplan $H\,$ , il existe une unique dilatation de base $H\,$ envoyant $A\,$ sur $A'\,$ ; on obtient facilement l'image $M'\,$ d'un point $M\,$ par la construction :

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine $GA(E)\,$ est engendré par les dilatations.

[modifier] Dilatation projective

Si l'on plonge l'espace affine $E\,$ dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H'\,$ , on sait que l'on peut munir le complémentaire $E'\,$ de l'hyperplan $H\,$ d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de $H\,$ dans $E\,$ deviennent parallèles dans $E'\,$ et celles qui sont parallèles dans $E\,$ deviennent sécantes en un point de $H'\,$ ).

A toute dilatation d'hyperplan $H\,$ de $E\,$ est alors associée une application affine de $E'\,$ qui n'est autre qu'une homothétie !

Les dilatations en perspective deviennent donc en fait des homothéties... Si l'on regarde par avion une dilatation de base parallèle à la ligne d'horizon, on voit une homothétie dont le centre est sur la ligne d'horizon :

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que $H\,$ et $H'\,$ à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.

[modifier] Dilatation orthogonale

Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.

[modifier] Réalisation d'une dilatation par perspective parallèle

Plongeons l'espace euclidien $E_n\,$ de dimension n comme hyperplan d'un espace $E_{n+1}\,$ de dimension n+1 et faisons tourner $E_n\,$ autour de son hyperplan $H\,$ , de façon à en obtenir une copie $\tilde E_n\,$ .

Tout point $M\,$ de $E_n\,$ a une copie $\tilde M$ dans $\tilde E_n\,$ , donc aussi l'image $M'\,$ de $M\,$ par une dilatation de base $H\,$ .

On montre que la droite $(M\tilde M')$ garde une direction fixe $D\,$ , ce qui montre que $\tilde M'$ s'obtient par projection de $M\,$ dans $E_{n+1}\,$ (projection de base $\tilde E_n\,$ et de direction $D\,$ ).