Densité mélange

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En statistiques, on appelle densité mélange, ou loi mélange une fonction de densité qui est issue d'une combinaison linéaire de plusieurs fonctions de densité.

En prenant une fonction f(x,θ), densité d'une variable aléatoire x paramétrée par θ. Par exemple, si f est une loi normale, alors θ est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle \theta_1,\dots,\theta_g une famille de paramètres et \pi_1,\dots,\pi_g une famille de scalaires tels que

\sum_{k=1}^g\pi_k=1,

alors, la fonction g définie par

g(x,\theta_1,\dots,\theta_g)=\sum_{k=1}^g\pi_kf(x,\theta_k)

est une fonction la fonction de densité d'une loi mélange à g composantes.

On peut également étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble Ω de paramètres, si on a

\int_\Omega \pi\left(\theta\right)d\theta=1,

alors, la fonction

g\left(x,\Omega\right)=\int_\Omega\pi(\theta)f(x,\theta)d\theta

est une densité mélange.

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2

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