Discussion Utilisateur:DaffyDuck

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] Problème de géom 3D (re: A l'aide)

Ouhla, pourquoi me poser la question à moi ??? Ça va faire presque 4 ans que je ne fais plus de maths (enfin pas ce genre de maths !).

Bon, par "normale" à un segment, tu veux dire une perpendiculaire ? (en 3D, on ne parle pas de "normale" à une droite, éventuellement de normale à un plan, vu qu'une normale doit être un objet unique "la" normale... enfin, passons sur le vocabulaire, dont je ne suis plus très sûr moi-même.)

Quoi qu'il en soit... admettons que tu cherches une perpendiculaire au segment de vecteur directeur v. Cette perpendiculaire se trouve forcément dans le plan normal à ce vecteur (je résous déjà le problème dans l'espace vectoriel... on verra après pour le décalage par rapport à l'origine O de l'espace affine).

L'équation du plan normal ? Si v=(v1,v2,v3), ce serait v1.x + v2.y + v3.z=0 (I). Tous les vecteurs non nuls de ce plan sont perpendiculaires à v. Appelons ce plan P.

Tu veux un angle α par rapport au plan xy. L'ensemble des directions faisant cet angle avec ce plan sont celles qui font cet angle avec leur projeté orthogonal sur ce plan. Essayons de trouver ces directions en les caractérisant par leurs vecteurs directeurs v'=(x,y,z). Vu qu'on mesure l'angle avec le plan xy (faire le schéma), on peut déjà tracer le projeté du vecteur sur ce plan : (x,y,0) (dessiner le triangle orthogonal obtenu en faisant partir les 2 vecteurs d'un même point). On voit alors que x² + y² = (x² + y² + z²)(cosα)², qu'on peut réécrire sous la forme z² = (tanα)².(x² + y²) (II) (si α ne vaut pas π / 2 radians). Ceci donne l'équation d'un cône de révolution autour de l'axe z (dans les cas dégénérés le plan xy, ou l'axe z).

Tous les vecteurs non nuls de ce cône font un angle α avec le plan xy. Appelons ce cône C.

De ce raisonnement il découle que tous les vecteurs appartenant à la fois à P et à C sont des vecteurs normaux à v et font un angle α avec xy.

En passsant dans l'espace affine, chacun de ces vecteurs permet de définir une droite partant du milieu de ton segment, perpendiculaire à celui-ci, et faisant un angle α avec le plan Oxy.

Or l'intersection de P et de C est soit réduite au vecteur 0 (qui n'est pas une solution), si l'angle α est trop petit, soit à une droite unique, si le plan est tangent au cône, et vaut 2 droites sinon, soit 2 directions de vecteurs.

Donc, dans l'espace affine, ton problème a soit 0, soit 1 soit 2 solutions.

En en revenant aux équations : en mettant (I) dans (II) on a (v2.x + v2.y)² / v3² = (tanα)².(x² + y²). Selon les valeurs de v1,v2,v3 et α, il n'y aura soit pas de solution, soit une droite, soit 2 droites. En effet, d'une part, c'est une équation du 2nd degré en x qui, si on fixe y, admet 0,1 ou 2 solutions (idem en fixant x et en résolvant y), d'autre part, on constate que si on a une solution (x,y), alors (k.x,k.y) est solution aussi. Après cette analyse qualitative, je te laisse faire les calculs ;).

Dans tous les cas, quand on a des solutions pour x et y, on peut toujours obtenir la valeur de z en réinjectant les valeurs dans (I), et en déduire une solution au problème général.

Pour ta question comme quoi on n'arrivait pas à fixer tous les paramètres (c'est vrai, les solutions sont des droites), et ben, c'est tout à fait normal, vu qu'on cherche des vecteurs directeurs, des droites, des directions (out ça revient au même). Quand un vecteur directeur convient, un autre vecteur qui lui est proportionnel (colinéaire) convient aussi.