Discuter:Développement décimal

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Sommaire

[modifier] Définition du développement décimal illimité d'un réel

pour l'unicité du DDI et sa simplicité de construction, j'ai choisi de considérer les suites ne convergeant pas vers 9.

Parmi ma documentation, j'ai des sources contradictoires

  • suites ne convergeant pas vers 0
  • suites ne convergeant pas vers 9

si quelqu'un est sûr de la bonne définition, qu'il modifie en conséquence la définition et la construction. HB 1 mai 2005 à 15:18 (CEST)

[modifier] Constante de Liouville

Dans la partie "Curiosités", il y a une erreur sur la définition de la constante de Liouville (cf article constante de Liouville). Elle doit faire intervenir des puissances factorielle...

Exact, corrigé, merci. HB 25 mai 2006 à 18:28 (CEST)

[modifier] Différents types de développement décimal

Je n'en vois que trois (limité ==> décimaux, illimités avec une partie périodique ==> rationnels, illimités non périodiques ==> irrationnel)

Curly Lover en voit quatre type (infini périodique, infini éventuellement périodique, fini, infini non périodique): je n'aime pas trop ce classement car il ne définit pas des types de nombres différents, le terme infini est plus dangereux qu'illimité, le terme "éventuellement " me semble mal choisi pour indiquer que la période peut commencer quelques chiffres après la virgule. Pour toutes ces raisons, je reprends une version antérieure mais la discussion est ouverte. HB 7 décembre 2006 à 16:01 (CET)

Entièrement d'accord avec HB. BenduKiwi [ | φ] - 9 décembre 2006 à 20:42 (CET)


[modifier] proposition d'ajout : Développement en base quelconque ; une application

Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base 10. Tout ce qui précède s'applique à n'importe quel nombre entier b (comme base). Cette fois, les nombres admettant deux développements seront ceux de la forme \frac{a}{b^k}\,, les nombres rationnels restant carcatérisés par la périodicité de leur développement.

En fait la base 10 présente surtout un intérêt pratique, c'est celle à laquelle nous sommes habitués. Les bases 2 et 3 notamment sont très intéressantes. Plaçons nous en base 2. L'application de d:\{0,1\}^\N \rightarrow [0,1] qui associe à une suite à (\epsilon_n)_{n\ge 1}, où εnl, vaut 0 ou 1, le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n} est continue surjective, mais certainement pas bijective.

Plaçons nous maintenant en base 3. L'application qui au même (\epsilon_n)_{n\ge 1} associe le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{2\epsilon_n}{3^n} est maintenant injective (mais pas surjective). C'est en fait un homéomorphisme sur l'ensemble de Cantor K_3\,, que nous noterons h\,. Alors d\circ h^{-1}\, est une application continue de K_3\, sur [0,1]\,. D'autre part, en associant à (\epsilon_n)_{n\ge 1} les deux suites (\epsilon_{2n})_{n\ge 1} et (\epsilon_{2n-1})_{n\ge 1}, on obtient un homéomorphisme de \{0,1\}^\N\, sur \{0,1\}^\N\times \{0,1\}^\N\,. En mettant tout cela ensemble, on obtient une surjection continue de K_3\, sur [0,1]\times [0,1]\,, qui se prolonge (par linéarité par exemple) en une application continue de [0,1]\, sur [0,1]\times [0,1]\,. Jaclaf 15 décembre 2006 à 17:42 (CET)

Bonne idée d'ouverture que la présentation d'un développement en base 2 et en base 3. Ainsi que l'écriture en base 3 de l'ensemble de Cantor. Le reste ensuite (difféomorphisme entre [0,1] et K3 puis surjection continue de K3 sur [0,1] * [0,1]) me semble hors sujet car ne traite que des propriétés de l'ensemble de cantor. Il trouverait plus naturellement sa place dans l'article titre (mais je crains que cela n'y soit déjà sous une forme voisine). Je suis désolée pour toi Jaclaf de voir que l'on t'oblige à migrer d'article en article pour y placer ce développement somme toute intéressant. HB 15 décembre 2006 à 19:37 (CET)
PS Je suis un peu d'accord avec v atekor pour dire que ton intervention sur les nombres réels déséquilibrait l'article et ne respectait pas le souci de progression dans la difficulté mais j'espère que ces difficultés ne t'empêcheront pas de trouver ta place dans la "bande des matheux" dont je suis le membre "restons élémentaires". HB 15 décembre 2006 à 19:37 (CET).

la surjection continue de [0,1] sur le carré a l'intérêt d'utiliser à la fois le dev en base 2 et celui en base 3 c'est pourquoi je l'avais proposé finalement ici. Cela étant dit, on peut trancher en tenant compte de la technicité, et l'ajouter à Cantor (où le dev en base 3 est fait mais pas cette application.

PS d'accord pour la rupture de rythme pour l'inclusion de ces chose dans l'artilcle sur les réels, a vec un petit regret

cependant : ce serait bien d'y dire quelque part, de façon moins violente certes, que le dev en base 2 permet de voir [0,1] comme espace des épreuves du jeun (infini) de pile ou face Jaclaf 17 décembre 2006 à 10:26 (CET)

Attention, ça sent la leçon d'agreg, ça. C'est-à-dire que ça part du principe qu'en exposant une notion de base, il faut essayer de trouver toutes (quelques, le plus possible, je laisse au choix du lecteur) les jolies applications qui peuvent être attachées à cette notion. Si ce mode opératoire peut avoir un sens pour l'agreg grâce au cadre qu'impose le programme, cela risque de vite trouver ses limites ici. Plus concrètement, je ne m'oppose pas violemment à ce que tu fasses ça, mais je suis assez dubitatif.Salle 18 décembre 2006 à 10:33 (CET)