Déterminant de Slater

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant la chimie et la physique quantique.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Le déterminant de Slater d'ordre N est un déterminant formé sur N spinorbitales $\phi_{k_i} (\xi)$ distinctes.

$D_K = {1\over\sqrt {N!}}\begin{vmatrix} \phi_{k_1} (\xi_1) & \phi_{k_2} (\xi_1) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_1) \\ \phi_{k_1} (\xi_2) & \phi_{k_2} (\xi_2) l &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_2) \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ \phi_{k_1} (\xi_N) & \phi_{k_2} (\xi_N) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_N) \\ \end{vmatrix}$

le facteur $1\over\sqrt N!$ est un facteur de normalisation valable si les spinorbitales sont elles-mêmes normées.

[modifier] Propriétés

Antisymétrie par rapport à la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules :

À la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules correspond la permutation des deux lignes correspondantes du déterminant. Les déterminants de Slater satisfont le principe d'antisymétrie, en effet un déterminant change de signe lorsque l'on permute deux lignes ou deux colonnes. Cette propriété est également valable pour une combinaison linéaire de déterminants.

Invariance pour toute transformation unitaire des spinorbitales :

Les déterminants de Slater formés sur des spinorbitales liées par une transformation unitaire sont égaux. Les spinorbitales sont définies à une transformation unitaire près.

Action des opérateurs de spin total $S z$ et $S 2$ :

Un déterminant de Slater est toujours fonction propre de $S z$

$S_z D_K = \frac{(N_\alpha - N_\beta)\hbar}{2}D_K$

où $N α$ et $N β$ désigne les nombres de spinorbitales $α$ et $β$

Un déterminant de Slater n'est fonction propre de $S 2$ que s'il correspond à la composante de haut spin ( $M S = S$ ) ou de bas spin ( $M S = - S$ ) du multiplet.