Dérivée fonctionnelle

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La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations.

Soit $F [φ]$ une fonctionnelle, c'est-à-dire une application d'un espace de Banach dans le champ des nombres réels ou complexes. L'objet $\tfrac{\delta F\left[\phi\right]}{\delta\phi(x)}$ , appelé dérivée fonctionnelle ou dérivée de Fréchet, représente la variation $δ F [φ]$ de la fonctionnelle $F [φ]$ rapportée à la variation de la fonction $φ(x)$ au point $x$ . Par conséquent, la dérivée fonctionnelle elle-même dépend de $x$ . On peut adopter comme définition :

$\delta F\left[\phi\right]=\int\mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \delta\phi(x)$ ,

ce qui implique que la variation totale de $F$ sous l'effet de la variation de la fonction $φ(x)$ est une superposition linéaire des changements locaux additionnés sur toute la plage de variation de $x$ .

On peut aussi définir la dérivée fonctionnelle à la façon d'une dérivée classique, comme la limite d'un rapport entre deux variations. Pour montrer cela, on va imposer à la fonction $φ(x)$ une variation de grandeur $ε$ localisée au point $y$ :

$\delta\phi\left[ x\right]=\epsilon \delta(x-y)$

En insérant cela dans la première définition, on obtient :

$\delta F\left[\phi\right]=F\left[\phi+\epsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]=\int \mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \epsilon\delta(x-y)=\epsilon\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}$

En passant à la limite $\epsilon\rightarrow 0$ , on a :

$\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{F\left[\phi+\varepsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]}{\varepsilon}$

[modifier] Règles de calcul

La dérivée fonctionnelle obéit à des règles semblables à celles du calcul différentiel ordinaire :

Elle est linéaire.
La dérivée fonctionnelle d'un produit de deux fonctionnelles $F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right]$ est donnée par :

$\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}$
La dérivée fonctionnelle d'une fonctionnelle de fonctionnelle est donnée par :

$\frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}$