Décomposition de Cartan

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Soit E un espace euclidien. Ce théorème de l'algèbre linéaire repose sur les endormorphismes autoadjoints. Il est donc important de voir le théorème spectral dans endomorphisme autoadjoint avant de prendre connaissance de cette décomposition.

Sommaire

[modifier] Enoncé

Décomposition de Cartan —  La décomposition de Cartan, aussi appelée décomposition polaire, assure, pour A\in GL_n(\mathbb{R}), l'existence et l'unicité de O\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R}) et S\in{\mathcal{S}_n}^{++}(\mathbb{R}) tels que : A=OS\;.

[modifier] Racine carrée d'un endomorphisme symétrique positif

[modifier] Enoncé

Racine carrée d'un endomorphisme symétrique positif — 

  • Soit u\in \mathcal{L}(E) symétrique positif. C'est-à-dire : \forall x\in E <u(x)|x>\ge 0.

Alors il existe un unique endomorphisme symétrique positif h tel que u = h2

  • Soit A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) symétrique positif.

Alors il existe une unique matrice H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) symétrique positive tel que A = H2

Etant donné qu'il y a un isomorphisme entre endormorphismes et matrices, on ne démontrera que la première assertion.

Pour un endomorphisme (ou une matrice) symétrique définie positif, alors l'endormorphisme h (ou la matrice H) est définie positive.

[modifier] Démonstration

  • Existence :

D'après le théorème spectal il existe (e1,...,en) une base orthonormée de E telle que :

\underset{(e_1,...,e_n)}{Mat} u =\begin{pmatrix} \lambda_1 & &0\\ & \ddots &\\ 0 & &\lambda_n\end{pmatrix}

\forall i \in \{1,...,n\} \lambda_i \ge 0 car u est positif. Soit h\in \mathcal{L}(E) telle que :

\underset{(e_1,...,e_n)}{Mat} h =\begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & &0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_n}\end{pmatrix}

h est diagonalisable dans une base orthonormée, h est donc symétrique et Sp\; h\subset \mathbb{R}_+ et h2 = u.

  • Unicité

Soit h et h' répondant au problème. Soit \lambda_1,...\lambda_r \in\mathbb{R} les valeurs propres de u deux à deux différentes.

Or h est diagonalisable, h2 = u et Sp\;h\subset \mathbb{R}_+, donc Sp\; h=\{\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_r}\}, idem pour h'.

h et h' étant diagonalisable on a :

E=\bigoplus_{i=1}^r Ker(u-\lambda_i)=\bigoplus_{i=1}^r Ker(h-\sqrt{\lambda_i})=\bigoplus_{i=1}^r Ker(h'-\sqrt{\lambda_i})


Or si x\in Ker(h-\sqrt{\lambda_i})\quad u(x)=h^2(x)=\sqrt{\lambda_i}^2 x =\lambda_i x

Donc pour tout i dans {1,...,n} Ker(h-\sqrt{\lambda_i})\subset Ker(u-\lambda_i)

Pour des raisons de dimension et par symétrie entre h et h' on a : E_i =Ker(h-\sqrt{\lambda_i})=Ker(u-\lambda_i)=Ker(h'-\sqrt{\lambda_i})

Et pour tout i on a : h_{|E_i}=h'_{|E_i}=\sqrt{\lambda_i}Id_{E_i}, et comme E=\bigoplus_{i=1}^r E_i, on a h'=h.


[modifier] Démonstration de la décomposition de Cartan

[modifier] Lemme

Lemme —  Soit A\in GL_n(\mathbb{R}).

Alors {}^tAA \in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).

Démonstration

Soit X\in\mathbb{R}^n.

On a très clairement : {}^t AA\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})

<{}^tAAX|X>={}^tX{}^tAAX={}^t(AX)AX=||AX||\ge 0
<{}^tAAX|X>=0\Leftrightarrow ||AX||=0 \Leftrightarrow AX=0\Leftrightarrow X=0

Car A est inversible.

Donc {}^tAA\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).

[modifier] Démonstration de la décomposition de Cartan

  • Existence

Soit S la racine carrée symétrique positive de {}^tAA\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}).

Alors S\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})

Soit O = AS − 1

O{}^tO=A\;\;S^{-1}\;\;{}^t(S^{-1})\;\;{}^tA= A(S^{-1})^2\;\;{}^tA=A({}^tAA)^{-1}\;\;{}^tA=I_n

Donc O\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})

  • Unicité

Soit A=OS une décomposition. On a {}^tA A = {}^t (OS) OS = {}^t S \; {}^t O \; O S

Mais tOO = In puisque O est orthogonale et comme S est symétrique tS = S. D'où tAA = S2.

D'après l'unicité de la racine carré d'une matrice symétrique positive on voit que S est unique. Si A est inversible, il en est de même pour S et O \, = A\; S^{-1} est aussi unique.

D'où le résultat.

[modifier] Cas où A n'est pas inversible

Le résultat reste vrai pour A non inversible, à l'exception de S qui devient seulement positive et non plus définie positive, et l'unicité de O n'est plus.

Démonstration

Voir la densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices dans matrice inversible.

Gl_n(\mathbb{R}) est dense dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), donc il existe (A_p)_{p\in\mathbb{N}}\in Gl_n(\mathbb{R})^{\mathbb{N}} tel que A_p \underset{p\to +\infty}{\longrightarrow} A

A_p\; est inversible il existe donc S_p\quad et\quad O_p tel que A_p=O_p S_p\;.

\mathcal{O}_n(\mathbb{R}) est compact il existe donc \varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N} strictement croissante telle que O_{\varphi(p)}\underset{p\to +\infty}{\longrightarrow} O\in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}).

S_{\varphi(p)}={O_{\varphi(p)}}^{-1}A_{\varphi(p)}\underset{p\to+\infty}{\longrightarrow} O^{-1}A=S\;

Vérifions que S\in\mathcal{S}^+_n(\mathbb{R}).

{}^t S_p\underset{p\to+\infty}{\longrightarrow} {}^t S, or {}^t S_p =S_p\;, donc par unicité de la limite on a {}^t S=S\;.

Soit X\in \mathbb{R}^n, on a {}^tXS_p X>0\;, par passage à la limite on a {}^tXSX\ge 0.

D'où le résultat.

[modifier] Extension au cas d'un espace préhilbertien complexe (de dimension finie)

L'extension des résultats précédents se fait sans difficulté en remplaçant endomorphisme symétrique par endomorphisme autoadjoint et automorphisme orthogonal par automorphisme unitaire. Les démonstrations sont sans changement notable (existence et unicité de la racine carrée positive d'un endomorphisme autoadjoint positif, existence de la décomposition de Cartan et unicité dans le cas d'un automorphisme).