Corrélation partielle (statistiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] Formule

Le coefficient de corrélation partielle, noté ici rAB.C, permet de connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d’observations considérées.


Dit autrement, le coefficient de corrélation partielle rAB.C est le coefficient de corrélation totale entre les variables A et B quand on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en terme de C. Il est donné par la formule :


r_{AB.C} = \dfrac{ r_{AB} - r_{AC}\cdot r_{BC}}{\sqrt{ 1-r_{AC}^2}\cdot\sqrt{ 1-r_{BC}^2}}


[modifier] Démonstration géométrique

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s’appuyer sur l’interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d’observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

Image: PartialCorrelation.png

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les coefficients de corrélations entre ces vecteurs sont rBC = cos(a), rAC = cos(b) et rAB = cos(c). Alors la loi fondamentale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

cos(C) = \dfrac{cos(c)-cos(a).cos(b)}{sin(a).sin(b)} = \dfrac{cos(c)-cos(a).cos(b)} {\sqrt{1-cos^2(a)}\cdot\sqrt{1-cos^2(a)}}


De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et rAB.C = cos(C) est la « corrélation partielle » entre A et B quand C est fixé.

[modifier] Voir aussi

Iconographie des corrélations