Conditions aux limites de Dirichlet

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En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

Dans le cas d'une équation différentielle telle que

\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1

sur l'intervalle [0,1] la condition aux limites de Dirichlet s'exprime par :

y(0) = α1
y(1) = α2

où α1 et α2 sont deux nombres donnés.

Pour une équation aux dérivées partielles sur un domaine \Omega\subset R^n telle que

Δy + y = 0

où Δ exprime le Laplacien), la condition aus limites de Dirichlet s'exprime par :

y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega

où f est une fonction connue définie sur la limite ∂Ω.


La condition aux limites de Dirichlet est sans doute l'une des conditions aux limites les plus faciles à comprendre, mais il existe d'autres conditions possibles. Par exemple les conditions aux limites de Neumann ou les conditions aux limites mixtes qui sont une combinaison des conditions de Neumann et Dirichlet.