Cercles d'Apollonius

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Les Cercles d'Apollonius sont une construction géométrique énoncée pour la première fois par Apollonius de Perga.

[modifier] Description

Les bissectrices intérieure et extérieure d'un angle \widehat{AMB}\, coupent la droite (AB) en I et J. Le cercle de diamètre [IJ] est le cercle d'Apollonius.

Image:Cercle apollonuis.gif

Les quatre points (A, B, I, J) forment une division harmonique : \frac{IA}{IB} = \frac{JA}{JB} = \frac{MA}{MB}.

Application - Voir : Lieu des points M tels que \frac{MA}{MB}= k (Lien externe).

[modifier] Faisceau de cercles d'Apollonius

Image:Cercle apollonuis trois.gif

Soit ABC un triangle. Le cercle c4 de centre I est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].

Les bissectrices en B coupent [AC] en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].

Les bissectrices en C coupent [AB] en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].

Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c1, c2 et c3 d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.

Leurs centres O1, O2 et O3 sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Le centre I du cercle circonscrit c4 est situé sur la droite (PQ).

[modifier] Fractal

Voir : Cercle d'Apollonius