B-spline

En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal. Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.

Sommaire

Étant donné m+1 nœuds t_i dans [0,1] avec

$t_0 < t_1 < \ldots < t_m$

une courbe spline de degré $n$ est une courbe paramétrique

$\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{P}^n$

composée de fonctions B-splines de degré n

$\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

Où les P_i forment un polygone appelé polygone de contrôle. Le nombre de points composant le polygone est égal à m-n-1.

Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence

$b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix} 1 & \mathrm{si} \quad t_j \leqslant t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{matrix} \right.$

$b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).$

Lorsque plusieurs noeuds $t j$ sont confondus on pose $\frac{0}{0} = 0$

Quand les nœuds sont équidistants, les B-splines sont dites uniformes.

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.

Une B-spline de degré n

b i, n (t)

est non nulle dans l'intervalle [t_i, t_i+n+1] :

$b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} >0 & \mathrm{si} \quad t_{i} \leqslant t < t_{i+n+1} \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{matrix} \right.$

En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.