Arbre couvrant de poids minimal

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L'arbre couvrant de poids minimal d'un graphe planaire. Chaque arête est identifiée avec son poids qui, ici, est approximativement sa longueur.

Étant donné un graphe non orienté et connexe, un arbre couvrant de ce graphe est un sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble.

Un graphe peut comporter plusieurs arbres couvrants différents. On peut associer un poids à chaque arête, ce qui est un nombre qui représente le coût de cette arête, et prendre la somme des poids des arêtes de l'arbre couvrant. Un arbre couvrant de poids minimal est un arbre couvrant dont le poids est plus petit ou égal à celui de tous les autres arbres couvrants du graphe.

Un graphe non orienté et général possède une forêt couvrante de poids minimal.

Un problème connu utilisant l'arbre du poids minimal est le suivant :

- On génère n points aléatoirement dans un carré de coté 1

- On génère le graphe complet dont les sommets sont les points générés

- On résout le problème de l'arbre de poids minimal

- On calcule $L n$ le poids total de l'arbre

Ce poids est asymptotiquement égal à ${\beta} {\sqrt n }$ avec $β$ = 0.658...