Approximation de Boussinesq

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En dynamique des fluides, l'approximation de Boussinesq, nommée en l'honneur de Joseph Boussinesq, est utilisée dans les équations de modification des fluides pour négliger les forces de compression excepté pour calculer les forces de flottabilité hydrostatique. L'approximation prend ainsi comme hypothèse que les fluides ont une masse volumique constante qui ne dépend que de sa température si l'on considère que la dimension horizontale est beaucoup plus grande que celle verticale. Dans le cas où on retrouve deux fluides de densités différentes en contact, g, la constante de gravité locale, exerce une force vers le bas différente selon la densité de chaque fluide et mène à leur stratification.

Les flux obéissant à l'approximation de Boussinesq sont fréquents dans la nature : zones frontales entre les masses d'air, zones de discontinuité océaniques, vents catabatiques, dispersion des gaz polluants denses et ventilation, climatisation, etc. , ce qui rend les calculs physiques plus simples. Par contre, les ondes sonores n'obéissent pas à cette approximation puisqu'elles se propagent par compression de l'air.

[modifier] Principe

Article détaillé : Équations de Navier-Stokes.

La formulation différentielle des équations de masse et de mouvement qui régissent les fluides est donnée par :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} + \rho \vec{f}$

Dans ces équations :

$t$ représente le temps (unité SI : $s$ ) ;
$ρ$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : $k g . m - 3$ ) ;
$\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 )$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : $m.s - 1$ ) ;
$p$ désigne la pression (unité SI : $Pa$ ) ;
$\overrightarrow{\overrightarrow{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : $Pa$ ) ;
$\vec{f}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : $N.kg - 1$ ) ;

On voit que chacune de ces deux équations comporte la variable $\,\rho$ . Si la variation de celle-ci est négligeable, dans le temps et l'espace dans un volume, les équations seront grandement simplifiée car :

$\, \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$
$\overrightarrow{\nabla} \cdot \rho = 0$

Et laisse les équations :

Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité $\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v}= 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p + \nu \nabla^2 \vec{v}+ \vec{f}$

où $\nu = \tfrac{\mu}{\rho}$ désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : $m 2 .s - 1$ )

Dans ces dernières, le seul endroit où la masse volumique subsiste est dans $\frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p$ et $ν$ . Or $\overrightarrow{\nabla}p$ dépend de $\overrightarrow g$ (la constante de gravité) selon l'équilibre hydrostatique.

Donc si on peut négliger les variations de la masse volumique entre deux fluides, la seule force qui s'exercera sera celle de la gravité. En effet, la variation de $ν$ par la variation de densité dû au changement de température horizontale est très minime dans la plupart des fluides. L'approximation de Boussinesq est donc acceptable dans la plupart des situations à large échelle en météorologie et océanographie.