Approximation de Bernstein

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L'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale permettant d'approcher uniformément une fonction continue $f\,$ définie sur l'intervalle $[0,1]\,$ par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

$B^k_n(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}\,$

pour un entier $n\,$ , où $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,$ est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de $k$ éléments (sans les distinguer) parmi $n\,$ . On construit donc une approximation de $f\,$ par la fonction

$b_n(f,x)=\sum_{k=0}^n f(k/n)B^k_n(x)\,$ .

On construit $b_n(f,\cdot)$ à partir des valeurs de $f$ aux points $0,1 / n,...,1$ mais, en ces points, la valeur de $b_n(f,\cdot)$ peut être différente de celle de $f$ . Selon certaines définitions, cela en fait un procédé d'interpolation ou non.

La convergence uniforme de $b_n(f,x)\,$ vers $f\,$ s'énonce donc de la façon suivante : pour tout $\epsilon>0\,$ , il existe un entier $n\,$ assez grand tel que $|f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon\,$ pour tout $x\in[0,1]\,$ et tout entier $m\geq n\,$ .

Il convient de noter que si $X\,$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n,x)\,$ , alors $b_n(f,x)\,$ n'est rien d'autre que l'espérance de $f(X/n)\,$ , c'est-à-dire la moyenne de $f\,$ appliquée au nombre de succès de $n$ expériences indépendantes de probabilité $x\,$ . Le convergence ponctuelle de $b_n(f,x)\,$ (c'est-à-dire pour chaque point $x\,$ ) vers $f(x)\,$ est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre $X/n\,$ et $x\,$ , on en déduit facilement la convergence uniforme de $b_n(f,\cdot)\,$ vers $f\,$