Application transposée

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En mathématiques, la notion d'application transposée relève de l'algèbre linéaire. À toute application linéaire u entre deux espaces vectoriels E et F est associée l'application transposée $t u$ définie par

$\forall \ell \in F^*, \qquad {}^t u(\ell)=\ell\circ u$

C'est une application linéaire de l'espace dual $F *$ de F dans l'espace dual de E.

En employant la notation du crochet de dualité, la définition de l'application transposée peut être réécrite sous la forme

$\forall x \in E, \forall \ell \in F^*, \qquad \langle {}^t u(\ell),x\rangle=\langle\ell,u(x)\rangle$

L'application qui a une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. À l'aide de la bilinéarité du crochet, on montre que l'application de transposition elle-même est une application linéaire de $L (E, F)$ dans $L (F *, E *)$ .

L'application de transposition possède également des propriétés vis-à-vis de la loi produit. Lorsque v et u sont respectivement linéaires de E dans F et de F dans un troissième espace vectoriel G,

${}^t(u\circ v)={}^tv\circ {}^t u$