Discuter:Anneau principal

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[modifier] Propriétés noethériennes

L'article (section "Propriétés noethériennes") semble supposer qu'un anneau doit être noethérien pour posséder la propriété suivante :

"Tout idéal est inclus dans un idéal maximal"

En fait, dans un anneau quelconque (avec 0 et 1 distincts), il est toujours vrai que tout idéal distinct de l'anneau tout entier est contenu dans un idéal maximal. C'est le théorème de Krull. Il est vrai même si l'anneau n'est pas commutatif, à condition de préciser qu'il s'agit d'idéaux à gauche (par exemple).

Ce qui importe dans le cas des anneaux noethériens, c'est qu'on peut prouver (à l'aide de l'axiome du choix) que tout ensemble non vide d'idéaux d'un anneau noethérien admet un élément maximal pour la relation d'inclusion. (Maximal dans l'ensemble en question.)

Marvoir (d) 28 mars 2008 à 12:49 (CET)

Merci pour cette relecture, nous partageons la même opinion. Je compte retravailler idéal maximal et tenir compte de la remarque explicitée dans anneau euclidien pour indiquer les différentes formes d'axiome du choix utilisé. Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 13:29 (CET)

Ce qui me semble important dans le cas des anneaux noethériens est l'équivalence entre trois approches : celle que vous citez, le fait que toute suite croissante est stationnaire ou le fait que tout idéal est de type fini. Cette équivalence est démontrée dans l'article associé, Pensez vous qu'il soit nécessaire de faire un rappel de cette implication. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 12:01 (CET)

Je n'attache pas une même importance sur le fait d'insister plus sur la nécessité de l'usage de cette forme faible d'axiome du choix. En revanche,l'application du théorème de Zorn dans le cas d'un idéal quelconque mérite à mes yeux une explication plus précise. Sommes nous d'accord ? Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 12:01 (CET)

En fait, je crois que j'avais fait ma remarque ci-dessus trop vite : déjà à ce moment-là, l'article disait que la propriété en question est vraie pour tout anneau.

Pour ma part, je n'entrerais pas dans des distinctions sur le degré de force des différentes formes de l'axiome du choix. Je montrerais qu'avec l'axiome du choix et l'hypothèse "anneau intègre où tout idéal admet un générateur", on peut prouver que tout élément non nul non inversible est décomposable en produit d'éléments irréductibles et que l'idéal engendré par un élément irréductible est toujours maximal, d'où découle (maintenant sans l'axiome du choix) que tout idéal distinct de l'anneau tout entier est contenu dans un idéal maximal. (Cas particulier du théorème de Krull.)

Mais, en cette matière, il faut s'attendre à ce que les goûts diffèrent, donc je ne compte pas batailler pour mon point de vue.

Marvoir (d) 30 mars 2008 à 15:03 (CEST)