Algèbre matricielle
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L'algèbre matricielle est une branche des mathématiques qui étudie les matrices. Initialement une sous-branche de l'algèbre linéaire, elle a grandi jusqu'à couvrir des sujets liés à la théorie des graphes, l'algèbre combinatoire et les statistiques.
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[modifier] Histoire et aperçu
Le terme matrice a été défini pour la première fois en 1848 par J.J.Sylvester comme tableau de nombres. En 1855, Arthur Cayley introduisit la matrice comme représentation d'une transformation linéaire. Cette période a été considérée comme le début de l'algèbre linéaire et de l'algèbre matricielle.
L'étude d'un espace vectoriel sur un corps fini, une branche de l'algèbre linéaire très utile en théorie des codes, nous amène naturellement à étudier et à utiliser les matrices sur un corps fini en théorie des codes.
Un module sur un anneau est une généralisation de l'espace vectoriel. On peut le considérer comme un "espace de vecteurs" sur un anneau (au lieu d'un corps). On est amené à étudier les matrices sur un anneau.
Parmi les théorèmes utiles, le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aux anneaux commutatifs, la forme normale de Smith s'applique aux anneaux possédant des idéaux principaux et beaucoup d'autres ne s'appliquent qu'aux matrices réelles ou complexes.
[modifier] Applications
Parmi les utilisations des matrices, il y a la théorie des graphes. Par exemple, une matrice adjacente est utilisé pour la représentation d'un graphe non dirigé. Une utilisation importante des matrices sont les matrices stochastiques, appelées aussi matrices de probabilités, utilisées pour décrire des processus stochastiques, en probabilités et en statistiquess. Le "PageRank" algorithme utilisé par Google nous donne une idée d'une énorme matrice stochastique.
Un autre outil important sont les matrices corrélés en statistique.
Les images de synthèse nécessitent une computation lourde de matrices.
Pour l'optimisation de problèmes incluant des fonctions à plusieurs variables réelles, des matrices définies positives apparaissent dans la recherche de maxima et de minima.
Il y a aussi un intérêt pratique pour les matrices définies sur un anneau quelconque (voir Anneau). En particulier, les matrices sur un anneau polynomial sont utilisées en théorie de contrôle.
[modifier] Théorèmes utiles
- Théorème de Cayley-Hamilton
- Réduction de Jordan
- Décomposition QR
- Triagonalisation de Schur
- Décomposition en valeurs singulières
- Forme normale de Smith
[modifier] Voir aussi
[modifier] Références
- Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra, licensed under GFDL
- Jim Hefferon : Linear Algebra (Online textbook)
