142857 (nombre)

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Le nombre 142857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base 10. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Sommaire

[modifier] Permutations circulaires

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714
3 x 142 857 = 428 571
4 x 142 857 = 571 428
5 x 142 857 = 714 285
6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,

  • ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type 1 / n ;
  • cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;
052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;
0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;
0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;
0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).

On notera aussi les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5
142 857 / 5 = 28 571,4

[modifier] Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10n − 1 :

7 x 142 857 = 999 999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9

Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1 / n par exemple :

  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

2^1 \mod 9 \equiv 2
2^2 \mod 9 \equiv 4
2^3 \mod 9 \equiv 8
2^4 \mod 9 \equiv 7
2^5 \mod 9 \equiv 5
2^6 \mod 9 \equiv 1

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.

[modifier] Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar :

1428572 = 020408 122449
142857 = 020408 + 122449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 x 1, 2, ... ou 6) ou 999999 (= 142857 x 7), exemple :

142857 x 56 = 7999992
=> 7 + 999992 = 999999 = 142857 x 7
142857 x 125 = 17857125
=> 17 + 857125 = 857142 = 142857 x 6
142857 x 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541
=> 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569
=> 2 + 428569 = 428571 = 142857 x 3

On notera également

1428574 = 000416 491461 893377 757601
142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

1428578 = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201
142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 047619 (de 1/19)

[modifier] Nombre Harshad

142 857 est un nombre Harshad :

142857 = 5291 x (1+4+2+8+5+7)

[modifier] Autres propriétés

La roue de six

Décomposition en produit de facteurs premiers :

142 857 = 33 x 11 x 13 x 37

1/7 = 0.142857 142857 142857 ...

Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857

326451 peut être considéré comme le jumeau de 142857...

142857 x 3 = 428571
142857 x 2 = 285714
142857 x 6 = 857142
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 1 = 142857
10 = 3 + (7 x 1)
100 = 2 + (7 x 14)
1000 = 6 + (7 x 142)
10000 = 4 + (7 x 1428)
100000 = 5 + (7 x 14285)
1000000 = 1 + (7 x 142857)

On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.

[modifier] Liens externes