Équation d'Euler-Lagrange
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L’équation d'Euler-Lagrange est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels, tel que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange.
Enoncé — Soit J la fonctionnelle définie par, pour toute fonction x :
Une condition nécessaire pour que J soit stationnaire est que l'on ait :
- .
Il s'agit d'une très célèbre démonstration en mathématiques. Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations.
Nous cherchons une fonction x rendant extrémale la fonctionnelle et satisfaisant les conditions aux bords :
- et
- .
On a ainsi :
Supposons que les dérivées premières de f soient continues.
Si x rend extrémale J, alors une perturbation infinitésimale de x préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).
Soit une perturbation de x, où est une fonction différentiable vérifiant . Définissons :
Calculons alors la dérivée de J par rapport à ε :
Le développement du calcul donne :
Donc :
Quand ε = 0 on a bien xε = x, ce qui donne J'(0) = 0, soit encore :
Par intégration par parties :
Avec les conditions aux bords η(t0) = η(t1) = 0, on a :
En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec η(t0) = η(t1) = 0, on obtient :
[modifier] Variantes
Dans de nombreux problèmes, f ne dépend pas directement de t, (c'est-à-dire ) et l'équation précédente se simplifie sous la forme suivante, appelée identité de Beltrami :
Avec C une constante du problème.