Voyage relativiste

Il a été proposé d'utiliser une nouvelle forme d'énergie, par exemple l'énergie nucléaire pour propulser des vaisseaux spatiaux habités au-dehors du système solaire. Le problème est clairement que la plus proche des étoiles connues (α du Centaure) se trouve à 4 années-lumière, c'est-à-dire de l'ordre de 40 000 milliards de km. Pour lancer un équipage dans un voyage d'une durée raisonnable, et ceci dans des conditions d'accélération supportables sur la longue durée, on se heurte à une difficulté insurmontable.

Cependant, sur le papier, on peut penser au fait que quand on atteint des vitesses proches de celle de la lumière, le temps s'écoule plus lentement que pour les personnes qui n'ont pas été accélérées. On peut tenter de jouer sur ce fait pour raccourcir des voyages sur des distances qui paraissent inaccessibles.

[modifier] Étude d'un cas concret

Une proposition est faite dans la sous-section citée sur l'énergie nucléaire d'utiliser d'une manière ou d'une autre l'énergie nucléaire dans le but d'obtenir ce genre de vitesse, en raccourcissant ainsi le temps de voyage d'un facteur 100 par rapport aux terriens.

Le but du présent article est de calculer les conséquences d'une telle entreprise, sur les bases mêmes de la relativité restreinte utilisée pour obtenir cet effet.

On n'entrera pas dans les détails de la technique à mettre en œuvre pour la réalisation, mais on se bornera à calculer l'énergie à utiliser dans le cas le plus favorable de rendement, et la perte de masse ainsi occasionnée. On supposera par la suite le lecteur familier avec les formules fondamentales de la relativité restreinte, sinon, on lui conseillera de sauter aux conclusions.

[modifier] Hypothèses de base

On se limitera à un système dont le rendement de propulsion est $\scriptstyle \varepsilon < 1$ en matière d'accélération pour une perte d'énergie donnée.

Si l'on considère le vaisseau de masse courante $\scriptstyle M$ dans son système inertiel instantané, et qu'on éjecte en un temps propre élémentaire $\scriptstyle d\tau$ une certaine quantité de matière ou de rayonnement, le vaisseau va acquérir par réaction une impulsion $\scriptstyle dp$ opposée à celle de ce qui est émis, et donc il sera accéléré de $\scriptstyle a = \displaystyle\frac{\scriptstyle dp}{\scriptstyle M d\tau}$ .

Il va également perdre une énergie $\scriptstyle dE$ opposée à celle de ce qui est éjecté. Or, il reste, après la génération de l'énergie, des résidus de réaction^[1], que l'on doit éliminer pour alléger le vaisseau et faciliter les accélérations ultérieures. Le mieux est de les utiliser comme masse inerte de propulsion. Comme le jet émis contient cette matière, on a strictement, dans tous les cas, $\scriptstyle c\;|\;dP\;|\;<\;dE$ . Posons simplement $\scriptstyle c\;|\;dP\;|\;=\;\varepsilon dE$ , où $\scriptstyle \varepsilon < 1$ peut être considéré comme un rendement effectif. C'est en fait la vitesse relative des éjectats par rapport au vaisseau, rapportée à celle de la lumière, qui serait le maximum. Pour une source d'énergie nucléaire, de fission ou de fusion, $\scriptstyle \varepsilon$ pourrait être de l'ordre de 1%, compte tenu de l'énergie dégagée et de la masse des résidus^[1]. Il serait encore mille fois plus faible pour des réactions de combustion chimique.

On a alors $\scriptstyle a = -\displaystyle \frac{\scriptstyle \varepsilon \;dE}{\scriptstyle M c \;d\tau}$ , ou puisque $\scriptstyle E = Mc^2$ : $\scriptstyle a = - \displaystyle \frac{\scriptstyle\varepsilon c \;dM}{\scriptstyle M\;d\tau}$ .

Pour passer aux formules globales, et non plus différentielles, nous devons tenir compte du fait que le système inertiel du vaisseau change tout le temps. Le plus commode est d'introduire le paramètre additif $\scriptstyle \varphi$ du groupe de Lorentz à deux dimensions d'espace-temps. Il est usuel de le normaliser en notant la vitesse non-relativiste comme $\scriptstyle c\varphi$ , en sorte que le facteur de Lorentz $\scriptstyle \gamma = \cosh\varphi$ et l'accélération dans le système inertiel est $\scriptstyle a = \displaystyle\frac{\scriptstyle c\;d\varphi}{\scriptstyle d\tau}$ , ce qui donne tout de suite la proportionnalité $\scriptstyle \tau = \displaystyle\frac{\scriptstyle c}{\scriptstyle a}\scriptstyle\varphi$ .

On arrive enfin à la relation : $\displaystyle\frac{\scriptstyle c\; d\varphi}{\scriptstyle d\tau}\scriptstyle =-\displaystyle\frac{\scriptstyle\varepsilon c\; dM}{\scriptstyle M \;d\tau}$ , ou en simplifiant : $\scriptstyle d\varphi\;=\;-\displaystyle\frac{\scriptstyle\varepsilon dM}{\scriptstyle M }$ .

Cette équation s'intègre par $\scriptstyle M = M_0 \;e^{-\varphi/\varepsilon} = M_0\; e^{-\tau a/\varepsilon c}$ .

[modifier] Application numérique

Le rapport moyen entre le temps terrestre $\scriptstyle t$ et le temps propre $\scriptstyle \tau$ visé étant de 100, très arbitrairement, pour que le temps écoulé en années dans le voyage soit celui écoulé en siècles sur terre, il faut calculer la valeur de ce rapport moyen.

Le rapport instantané $\displaystyle\frac{\scriptstyle dt}{\scriptstyle d\tau} \scriptstyle =\cosh\varphi = \cosh \left(\displaystyle\frac{\scriptstyle \tau a}{\scriptstyle c}\scriptstyle \right)$ . En intégrant sur $\scriptstyle \tau$ , on trouve $\scriptstyle t =\displaystyle \frac{\scriptstyle c}{\scriptstyle a}\scriptstyle \sinh \left(\displaystyle \frac{\scriptstyle \tau a}{\scriptstyle c}\right)$ , d'où $\displaystyle \frac{\scriptstyle t}{\scriptstyle \tau} = \displaystyle \frac{\scriptstyle c}{\scriptstyle a\; \tau} \scriptstyle \sinh \left(\tau \displaystyle \frac{\scriptstyle a}{\scriptstyle c}\scriptstyle \right) = \displaystyle \frac{\scriptstyle \sinh \varphi}{\scriptstyle \varphi}\scriptstyle = 100$ .

Par résolution numérique, on trouve $\scriptstyle \varphi \simeq 7,284$ . On a donc pour l'accélération aller seulement un rapport de masses entre le départ et le changement de signe de l'accélération de $\displaystyle \frac{\scriptstyle M_0}{\scriptstyle M}\scriptstyle \simeq e^{7,284/\varepsilon}$ . Cette dernière expression vaut 1457 dans le cas où ε = 100%, mais 2·10³¹⁶ au cas où ε=1% !

Pour la mission complète, accélération-décération, aller-retour, il faut diviser la masse initiale 4 fois de suite par ce facteur, soit par un facteur global irréaliste de 4,5·10¹² pour un rendement irréaliste de ε=100%, et quelque 10¹²⁶⁵ pour ε=1% …

La distance parcourue en accélération $\scriptstyle x$ , en supposant une accélération avec laquelle nous sommes familiers, soit $\scriptstyle g$ , serait donnée par $\displaystyle \frac{\scriptstyle dx}{\scriptstyle d\tau}\scriptstyle = c \sinh \left(\tau \displaystyle \frac{\scriptstyle g}{\scriptstyle c}\scriptstyle \right)$ , soit de $\scriptstyle x = \displaystyle \frac{\scriptstyle c^{2}}{\scriptstyle g}\scriptstyle (\cosh \varphi - 1) = 727,4\;c^{2}/g$ , ou $\scriptstyle 727,4\;c/g$ temps-lumière, soit environ 700 années-lumière, puisque $\displaystyle \frac{\scriptstyle c}{\scriptstyle g}\scriptstyle \simeq \;0,97$ an.

Donc, dans les conditions indiquées, on « pourrait » aller à environ 1400 années-lumière, mais il faudrait pour cela un temps propre de $\scriptstyle 2 \times \tau\; = \;2 \times \displaystyle \frac{\scriptstyle c \varphi}{\scriptstyle g}\scriptstyle \; \simeq \; 2 \times 7,284 \;\simeq \;14,5$ ans, aller simple, soit 29 ans au total et 29 siècles pour les terriens qui attendent le retour de la mission.

[modifier] Conclusions

Les hypothèses faites sont clairement intenables. La perte en masse due à la consommation d'énergie, en supposant un rendement de 100%, aboutit à des chiffres totalement absurdes. Le rendement de 100% suppose des procédés d'accélération encore insoupçonnés. Au mieux, on peut envisager, avec les connaissances actuelles en physique fondamentale – et sans se préoccuper des problèmes technologiques^[1] – un rendement de 1%, ce qui ne fait que rendre le problème encore plus aigu. On pourrait penser limiter cet effet en diminuant la portée de la mission, par exemple en se limitant à un paramètre relativiste de 1 seulement, au lieu de plus de 7. Toujours en gardant une accélération égale à celle que nous supportons sur la Terre, $\scriptstyle g$ , et un rendement de 100%, on aboutirait alors à diviser la masse du vaisseau par un facteur $\scriptstyle >e^{4} \simeq 55$ pour l'ensemble de la mission. Le temps de mission serait de 4 ans à bord du vaisseau et de 4,7 ans sur Terre, mais évidemment, la portée de la mission ne serait que de 1,1 année-lumière. Avec les mêmes hypothèses, mais un rendement « réaliste » de 1%, la perte de masse serait élevée à la puissance 100, soit déjà un facteur de 10¹⁷⁴, pour une même distance, soit le quart de la distance à l'étoile la plus proche connue.

On pourrait néanmoins observer que, dans ces conditions, on peut se mettre en vol inertiel entre la période d'accélération et celle de décélération. Comme on a déjà atteint la vitesse respectable de tanh φ = 0,76 c, il suffit de patienter 2,9/0,76= 3,8 années terriennes, à l'aller comme au retour, pour rallonger la portée de la mission jusqu'à 4 années-lumière. C'est bien entre les deux phases accélération/décélération qu'il est le plus avantageux de procéder à ce vol inertiel, car c'est là qu'on bénéficie de la plus grande vitesse. En temps-vaisseau, cet intervalle est de 3,8/cosh φ = 2,5 années. Le temps total de la mission s'établit donc à 9 années-vaisseau et à 12,3 années terrestres. La répartition de l'accélération n'a pas d'influence sur le rapport de masses, puisque celle-ci ne dépend que de la variation totale de φ.

En attendant même la perspective de rendements convenables par rapport à l'hypothèse maximale de 100%, on voit que le voyage utilisant la contraction relativiste du temps est loin d'être sérieusement envisageable. Seules des économies considérables sur la vitesse maximale atteinte et donc sur la vitesse moyenne, peuvent permettre d'atteindre les objectifs du voyage intersidéral. Ces économies se répercutent évidemment alors sur la durée de la mission.

Pour fixer les idées, nous donnons ci-dessous une gamme de paramètres de voyage dans le cadre ci-dessus, avec un rendement 100% ou de 1% :

Valeur	Rapport de masses	Rapport de masses	Temps du vaisseau	Temps terrestre	Portée de la mission	Vitesse max / c
Rendement	ε= 100%	ε= 1%	Temps du vaisseau	Temps terrestre	Portée de la mission	Vitesse max / c
φ \ Formule	e^4φ	e^400φ	4 φ	4 shφ	2 (chφ-1)	th φ
1	55	10¹⁷⁴	4 ans	4,7 ans	1,1 a.-l.	0,76
2	3000	10³⁴⁸	8 ans	14,5 ans	5,5 a.-l.	0,96
3	160 000	10⁵²²	12 ans	40 ans	18 a.-l.	0,995
4	9 10⁶	10⁶⁹⁶	16 ans	109 ans	53 a.-l.	0,9993
5	5 10⁸	10⁸⁷⁰	20 ans	297 ans	146 a.-l.	0,9999
6	2,6 10¹⁰	10¹⁰⁴⁴	24 ans	807 ans	401 a.-l.	0,99999
7	1,4 10¹²	10¹²¹⁸	28 ans	2190 ans	1095 a.-l.	0,999998

↑ ^a ^b ^c Comme on le verra, les échelles de masse du vaisseau varient considérablement, et il convient aussi de prendre en compte les matériaux de démantèlement des propulseurs qui deviennent rapidement surdimensionnés. Ceci ne fait que diminuer le rendement ε.