Variété stable

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Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer.

Soit $F$ une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte $M$ de dimension $n$ . Considérons une métrique riemannienne $g$ sur $M$ . Le champ de gradient $X$ de $F$ est défini par

$g\left[grad\, F,.\right]=dF$

Un point crtique $x$ est dit non dégénéré lorsque la hessienne $\nabla dF (x)$ est une forme blinéaire non dégénérée sur $T x M$ . En apparence, la connexion de Levi-Cevita intervient dans la définition de la hessienne, mais en un point critique $x$ , la définition de la hessienne ne dépend pas de la métrique. En particulier, la définition d'un point critique non dégénéré est intrinsèque à la variété.

Comme $M$ est compacte, le flot de grad F est complet et définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes

$\phi_t:M\rightarrow M$

Si $x$ est un point critique non dégénéré, on appelle variété stable $W^s(x)=\left\{y,\lim_{t \rightarrow+\infty} d(x,\phi_t y)=0\right\}$ Le résultat suivant est non élémentaire et ses implications sont larges et considérables.

Théorème : Sous les notations précédentes, la variété stable $W s (x)$ est une sous-variété plongée de $M$ , de dimension $μ(x)$ . De plus, l'espace tangent en l'élément x est :

$\,T_xW^s(x)=E^s(x)$

Ici, $\,\mu(x)$ désigne l'indice de la hessienne, c'est à dire la dimension maximum d'un sous-espace sur lequel elle est définie négative.

[modifier] Références

Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Fourth Edition, Universitext, Springer, $2005$
A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of Dynamical systems, Camùbridge U. Press,

ISBN 0-521-57557-5