Trisection de l'angle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas.

S'il est facile de partager un angle en deux en construisant sa bissectrice, s'il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux, beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque. Dès le III^e siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement. Au II^e siècle av. J.-C., Nicomède conçut la conchoïde de droite pour s'approcher de la solution. Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra un théorème qui permit d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. L'équation de la trisection de l'angle étant de cette forme, la construction est donc impossible à réaliser selon ces règles.

La trisection de l'angle est en revanche réalisable en pliant une feuille de papier, par une construction due à Hisashi Abe (1980), qu'illustre la figure ci-contre :

On trace la droite d passant par le coin A de la feuille de sorte qu'elle forme, avec le bord inférieur h₀ de la feuille, l'angle à couper en trois.
Deux bandes horizontales de même largeur (arbitraire) sont tracées en bas de la feuille (ceci peut se faire facilement par pliage.) On appelle h₁ et h₂ les nouvelles droites qui les délimitent.
Il faut maintenant plier la feuille le long d'un pli p de sorte que le coin A se trouve déplacé sur la droite h₁ (en un point A'), en même temps que le point B (intersection du bord gauche avec la droite h₂) se trouve déplacé sur la droite d en un point B'.
La droite t passant par A et A' est alors la trisectrice de l'angle donné: l'angle formé par h₀ et t vaut 1/3 de l'angle formé par h₀ et d.

La démonstration est simple : par symétrie autour de la droite p le milieu P de AB donne le milieu P’ de A’B’ et, de même que A’P est perpendiculaire à AB, on a AP’ qui est perpendiculaire à A’B’. Les deux triangles rectangles P’A’A et P’B’A sont donc égaux.

D’autre part soit H la projection orthogonale de A’ sur h0. Puisque les triangles HAA’ et PA’A sont égaux comme moitiés d’un même rectangle et que les triangles PA’A et P’AA’ sont aussi égaux par symétrie autour de p, il en résulte que les triangles HAA’ et P’AA’ sont égaux.

Par conséquent l'égalité des trois triangles HAA', P'AA' et P'AB' montre que les segments AP’ et AA’ partagent bien l’angle dAh0 en trois angles égaux.

Compléments : il existe une méthode équivalente à ce pliage utilisant une équerre.

La relation entre la construction géométrique et la théorie algébrique est développée dans l'article Nombre constructible. Les démonstrations algébriques se trouvent dans l'article Tour d'extension quadratique.