Torseur cinétique

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Le torseur cinétique est un outil mathématique utilisé notamment pour calculer l'énergie cinétique d'un système.

Sommaire

1 Définition
2 Quantité de mouvement
3 Moment cinétique
4 Énergie cinétique

[modifier] Définition

Le torseur cinétique comme tous les torseurs est la réduction en un point d'un champ vectoriel en deux vecteurs particuliers.

Sa notation est la suivante : ${ \mathcal{C} (S/R)} _{A} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{p}(S/R) \\ \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

avec R repère d'étude, S solide étudié, A point quelconque du solide S.

[modifier] Quantité de mouvement

Le vecteur $\overrightarrow{p}(S/R)$ représente la quantité de mouvement du solide. La quantité de mouvement s'exprime en $k g . m . s - 1$

On a $\overrightarrow{p}(S/R) = m \vec V (G/R) = \int_{(S)} {\vec V (P \in S/R) dm}$ .

Où $\vec V (G/R)$ est la vitesse du point G par rapport au repère et $\vec V (P \in S/R)$ est le vecteur vitesse du solide par rapport au repère, les vitesses sont en $m . s - 1$ . Avec G centre de gravité de S.

[modifier] Moment cinétique

Le vecteur $\overrightarrow{\sigma _A}(S/R)$ est le moment cinétique.

On a $\overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \int_{(S)} {\vec {AP} \wedge \vec V (P \in S/R) dm(p)}$ .

ou encore

$\overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \vec{AG} \wedge m\vec V(A/R) + \begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix}. \vec \Omega (S/R)$

avec $\begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix}$ matrice d'inertie de S ecrite en A.

Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :

$\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) + m \vec V(A/R) \wedge \vec V (G/R).$

Cette relation se simplifie lorsque les points A et G sont confondus. $\overrightarrow{\delta _G}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _G}(S/R).$

[modifier] Énergie cinétique

Grâce aux notations torsorielles on peut calculer l'énergie cinétique d'un solide. Cette dernière est égale à la moitié du comoment du torseur cinétique par le torseur cinématique.

$T(S/R) = \frac{1}{2} \begin{Bmatrix} \mathcal{C} (S/R) _{G} \\ \end{Bmatrix} \otimes \begin{Bmatrix} \mathcal{V} (S/R) _{G} \\ \end{Bmatrix}$