Théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène

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Pour consulter un article plus général, voir atome

Cet article est une continuation de l'article sur l'atome d'hydrogène et la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.

On considère que les harmoniques sphériques, l'équation 1D de Leibniz-Schrodinger ainsi que l'équation radiale-réduite sont des préacquis.

Pour cet article initial sur l'atome d'hydrogène, on va vérifier directement sur l'équation radiale-réduite en :

$f(n, l, \frac{2r}{n})= f(n, l, s)$

et que les valeurs données par les tables mathématiques pour les couches K , L et M, sont exactes:

$R(n, l, r) = \frac{S(n, l, r)}{r} = r^l . e^{\frac{-r}{n}} . P(n, l, r)$

( Cet article à recours aux équations pour éviter une approche purement descriptive ! ).

[modifier] Couche K

Pour la couche K, on l'a déjà vu l'orbitale 1s :

$\psi\ (r) = R(r) = e^{-r} . N$ ,

avec N = 2 pour les couches K , L et M, sont exactes, vérifions-le :

R(r) est bien orthonormé sur l'intervalle r > 0 ;
l'équation radiale-réduite est automatiquement satisfaite puisque P = constante et k = 0.

[modifier] Couche L

Pour la Couche L il y a 1 orbitale 2s , et 3 orbitales 2p :

Orbitales 2p (de Rydberg) :

$R(r) = r \cdot \ e^{-r/2} \cdot \ N$

La normalisation conduit à $N = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

mais il faudra multiplier par 1/r . Y(1,m) , m =-1,0,1.

Et avec E = -1/4 (n=2, l=1 donc k=0), l'équation radiale-réduite est satisfaite, on l'a déjà vu.

Orbitale 2s : il y a 1 nœud, k = 1: R(r) = (1-r/2).exp(-r/2).N ;[ N = 1/sqrt(2)]. L'équation radiale-réduite est s.f" + (2-s)f' + (n-1)f = 0 avec f(s)= (1-s/2) : soit (2-s)(-1/2) +(n-1)(1-s/2) = 0, soit E = -1/4 .Vérifié!

[modifier] Couche M

Couche M : 1 orbitale 3s , 3 orbitales 3p et 5 orbitales 3d :

Orbitales 3d (de Rydberg) donc R(r) = r².exp(-r/3).N [ et N = 4/(81.sqrt(30))] et il faudra multiplier par 1/r . Y(2, m) avec m = -2,-1,0,1,2. L'énergie est E(3d) = -1/9 (déjà vu f(s) = cste).

Orbitales 3p , avec 1 nœud : R(r) = r(1-r/6)exp(-r/3).N [et N = 8/(27.sqrt(6))], et il faudra multiplier par 1/r Y(1,m) m =-1,0,1. Montrer que g(r) =1-r/6 vérifie rg" +(6-r)g' +g =0 est assez facile. Et l'énergie vaut bien E(3p) = -1/9.

Orbitale sphèrique 3s, avec 2 nœuds : R(r) = (r-a)(r-b).exp(-r/3).N ;

cette fois, il faut vérifier que f(3,0,s) = (s-a')(s-b') = s²-Ss+P satisfait s f " + (2-s)f' + 2f = 0 , ce qui est assez aisé : f est le Polynôme s²-6s+6 , soit avec s= (2/n) r , R(r) = (r²-9r+27/2)exp-r/3.N : la proba de trouver l'électronde voisin de r=a ou r= b ( soit 3/2(3 +/- sqrt(3) = 1.912 et 7.098 ) est nulle.Et l'énergie vaut E(3d)= -1/9.

[modifier] Conclusion

L'énergie la plus basse (n=1, E = E1) correspond à 1seule orbitale 1s. Puis la couche L( n=2 E = E2 = E1/2²)correspond à 1+3 orbitales, une 2s et trois 2p. La couche M ( n=3, E = E3 = E1/3²) correspond à 1+3+5 orbitales, une 3s (avec deux nœuds en 1.9 et 7.1), trois 3p (avec un nœud en r=6) et enfin cinq 3d (sans nœud).

Pour être encyclopédique, il conviendrait de donner aussi les couches N , O , P , Q , R(n=8) pour pouvoir expliquer la Classification périodique ; puis prendre des n élevés, et l= n-1 , pour les atomes de Rydberg.