Théorèmes de König (mécanique)

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Les deux Théorèmes de König concernant la mécanique sont dus à Samuel König (1712-1757). Ils permettent d'exprimer le moment cinétique (ou angulaire) d'un système de points matériels sous des formes plus facilement interprétables physiquement.

Sommaire

[modifier] Notion de référentiel barycentrique

Les deux théorèmes se démontrent en faisant intervenir un référentiel particulier : le référentiel barycentrique (ou référenciel du centre de masse), noté (R*).

[modifier] Définition

Par définition, (R*) est le référentiel associé au référentiel d'étude (R), galiléen ou non, en translation par rapport à (R), et tel que la quantité de mouvement \vec{P^{*}} du système dans (R*) est nulle. Cette définition est générale, intrinsèque, et reste valide dans le domaine relativiste.

En mécanique newtonienne, il est bien connu que la quantité de mouvement (ou résultante cinétique) \vec{P}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{M_{i}}} s'exprime simplement en faisant intervenir le centre d'inertie (ou de masse) G du système: \vec{P}=M\vec{v_{G}}, avec M\equiv \sum_{i} m_{i} la masse totale du système. Par suite dans le référentiel barycentrique (R*) on a \vec{v_{G}^{*}}=\vec{0}, d'où l'autre définition fréquemment donnée de (R*): « (R*) est le référentiel lié au centre d'inertie G, en mouvement de translation par rapport à (R) »

[modifier] Propriétés de (R*)

Remarque importante: bien que (R*) soit par définition en translation par rapport au référentiel d'étude (R), il n'est pas en général un référentiel galiléen. Pour que (R*) soit galiléen, il faudrait que (R) le soit et que le mouvement de(R*) par rapport à (R) soit rectiligne et uniforme.
De façon générale, les moments cinétiques du système en deux points O et O' sont lié par la relation: \vec{L_{O}}=\vec{L_{O'}}+\vec{OO'}\wedge \vec{P} (voir moment cinétique). Comme par définition dans (R*) \vec{P^{*}}=\vec{0}, le moment cinétique du système dans (R*) est indépendant du point où le calcule: \vec{L_{O}^{*}}=\vec{L_{O'}^{*}}=\vec{L^{*}}.
\vec{L^{*}} est aussi appelé moment cinétique propre (ou interne) du système.

Par ailleurs, d'après l'expression générale du moment cinétique d'un système, \vec{L_{G}}=\sum_{i} \left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right ), or (composition des vitesses) entre (R) et (R*)) \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}, d'où:
\vec{L_{G}}=\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G}}+\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right ), d'après la définition du centre de masse.
Comme par ailleurs \sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\equiv \vec{L^{*}}, il en résulte la propriété fondamentale suivante: \vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}, autrement dit le moment cinétique propre du système, dans le référentiel barycentrique (R*) associé à (R) s'identifie avec le moment cinétique par rapport à G évalué dans (R).

Enfin, il est possible de définir dans (R*) l'énergie cinétique propre du système: E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}.

[modifier] Premier théorème concernant le moment cinétique

Enoncé: avec les notations précédentes, le premier théorème de König se met sous la forme

\vec{L_{O}}=\vec{OG}\wedge M\vec{v_{G/R}}+\vec{L^{*}}, (1)

Interprétation physique: En d'autres termes, le moment cinétique d'un système par rapport à un point O est la somme de deux termes:

Démonstration: d'après l'expression générale du moment cinétique en O dans le référentiel (R), \vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right ) et la composition des vitesses entre entre (R) et (R*)) \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}} ((R) et (R*) étant en translation), il vient:
\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G/R}}\right )\right )=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G/R}}, comme \vec{L^{*}}\equiv \sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right ) et que (définition du centre de masse) \left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )=M\vec{OG}, le premier théorème de König (1) s'obtient aussitôt.

[modifier] Deuxième théorème concernant l'énergie cinétique

Enoncé: avec les notations précédentes, le second théorème de König se met sous la forme

E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{k}^{*}, (2)

Interprétation physique: En d'autres termes, l'énergie cinétique d'un système matériel est la somme de deux termes:

Démonstration: comme précédemment \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}. En susbstituant dans l'expression générale de l'énergie cinétique d'un système, E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} il vient:

E_{k}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2},
le premier terme de droite n'est autre que E_{k}^{*} et M\equiv \sum_{i} m_{i} est la masse totale du corps et par définition de (R*), \vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}, le second théorème de König (2) s'obtient aussitôt.

[modifier] Utilisation

Les deux théorèmes de König sont valables que le système soit déformable ou non. Ils sont fréquemment appliqués au cas particulier important du solide, voir moment cinétique et énergie cinétique.

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