Théorèmes de Carnot
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[modifier] Le "théorème japonais" de Carnot
En 1800, un samouraï anonyme accrochait au mur d'un temple une tablette de bois sur laquelle était gravé un sangaku, problème de géométrie dédié à une divinité (un kami) et proposé à la sagacité des fidèles. En 1803, Lazare Carnot publiait sa Géométrie de position. Hasard de l'Histoire, un théorème de cet ouvrage permet de résoudre élégamment le sangaku précité.
[modifier] Enoncé
Théorème — Soit un triangle A1A2A3 et son cercle circonscrit de centre O et de rayon R. La somme des distances "signées" du centre O aux côtés du triangle est donnée par :
où r est le rayon du cercle inscrit au triangle et O1, O2, O3 les projetés orthogonaux de O respectivement sur les côtés [A2A3], [A1A3] et [A1A2]
[modifier] Théorème de Carnot
Le théorème de Carnot s'énonce ainsi :
Étant donnée une courbe algébrique quelconque de degré n qui coupe un triangle ABC, soit A1 (resp. B1 et C1) le produit des n distances, réelles ou imaginaires, de A (resp. B et C) aux n points d'intersection de la courbe avec le côté AB (resp. BC et CA), et soient de même A2, B2 et C2 les produits semblables associés aux côtés AC, BA et CB. Alors A1B1C1 = A2B2C2.
