Théorème fondamental de la géométrie affine

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Le théorème fondamental de la géométrie affine est généralement connu sous la forme suivante :

Théorème 1. :

Soit X et X' deux espaces affines réels, et f:X→X' une application. Si X et X' sont de même dimension finie ≥2 , et si f est bijective et transforme trois points alignés quelconques en trois points alignés alors f est une application affine.

Voici d'autres situations intéressantes où on peut conclure que l'application f est affine:

Théorème 2. :

Soit f:X→X' une application. On suppose que f transforme deux bipoints parallèles en deux bipoints parallèles et que f(X) contient au moins trois points non alignés. Alors f est une application affine.

Théorème 3. :

Soit f:X→X' une application. On suppose que :

i) Pour tout a,b∈X, f(V(a,b))=V(f(a),f(b)). (V(a,b) désigne la variété affine passant par les deux points a et b).

ii) f(X) contient au moins trois points non alignés.

Alors f est une application affine.

Théorème 4. :

Soit f:X→X' une application où dimX≤dimX'<+∞, dimX'≥2. On suppose que f est surjective et transforme trois points alignés quelconques en trois points alignés (non nécessairement distincts). Alors f est affine.

Théorème 5. :

Soit f:X→X' une application où 2≤dimX'≤dimX<+∞. Si f est surjective et si l'image réciproque de tout ensemble de points alignés de X' est un ensemble de points alignés de X, alors f est une bijection affine.