Théorème ergodique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

[modifier] Théorème ergodique de Birkhoff

Soit :

$(X,Ω,μ)$ un espace mesuré.
T:X $\rightarrow$ X une transformation mesurable.
$μ$ une mesure finie T-invariante (c'est à dire que pour tout ensemble mesurable A de $Ω$ , on a $μ(T - 1 (A)) = μ(A)$ ).

Alors :

Pour toute fonction f de $L 1 (X,μ)$ , la suite $(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x))_{n \geq 1}$ converge $μ$ -presque sûrement.

De plus, en notant (lorsqu'elle existe), $\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x)$ = g(x), on a :

$g \circ T = g$ ; $μ$ -presque sûrement.

$| | g | | 1 = | | f | | 1$ (g est donc dans $L 1 (X,μ)$ ).

La suite de fonction $(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k})_{n \geq 1}$ converge dans $L 1 (X,μ)$ vers g.

Pour tout ensemble mesurable A tel que $μ(T - 1 (A)) = μ(A)$ ), on a : $\int_{A} g(x)\, \mathrm d\mu(x)= \int_{A} f(x)\, \mathrm d\mu(x)$

[modifier] Corollaire

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus, que la mesure $μ$ soit ergodique, on a :

$\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x)$ = $\int_{X} f(t)\, \mathrm d\mu(t)$ pour $μ$ presque tout x.

[modifier] Remarques

La somme $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x)$ s'appelle une moyenne de Birkhoff de f.
La limite $\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\circ T^{k}(x)$ lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de f.
L'intégrale $\int_{X} f(t)\, \mathrm d\mu(t)$ est la moyenne spatiale de f.

Ainsi, le théorème dit que si $μ$ est une mesure de probabilité ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

La loi forte des grands nombres est un cas particulier de ce théorème.

[modifier] Quelques applications simples

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable ( $μ(B) > 0$ ). Si $μ$ est ergodique, alors pour presque tous x de X, on a :

$\lim\nolimits_{n \to \infty} \frac{1}{n}card(\{ 0 \leq k \leq n-1$ tel que $T^{k}(x) \in B \}) = \mu(B)$

La proportion de temps que l'orbite de x passe dans B est précisément $μ(B)$ .

Exemple 2

Pour presque tout x $\in [0,1]$ , le nombre moyen de zéros dans l'écriture décimale de x (c'est à dire que $x = 0, a 1 a 2 a 3 ...$ où $a 1$ est le chiffre des dixièmes de x, $a 2$ le chiffre des centièmes de x, etc) est égale à $\frac{1}{10}$ .