Théorème des fermés emboités

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Soit E un espace métrique complet: soit Fn une suite décroissante de fermés de E dont le diamètre tend vers 0, alors l'intersection des Fn est réduite à un point

Preuve Il est évident que l'intersection des Fn contient au plus un élément.

Si on prend un élément xn dans chaque Fn il est clair que la suite xn est de Cauchy donc convergente car E est complet, par ailleurs sa limite appartient à chaque Fn, car les Fn sont fermés, on a donc prouvé que l'intesection des Fn est non vide.

Lorsque E=\mathbb R et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend donc la forme suivante : soit [an,bn] une suite décroissante de segments de \mathbb R tels que bn − an tende vers 0, alors l'intersection des segments [an,bn] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboités.