Théorème des deux lunules
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Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane
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[modifier] Histoire
Ce théorème est très ancien : Hippocrate de Chios (-500) étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire 21 / 3 (ne pas confondre avec Hippocrate(-460,-377)). On l'appelle aussi les lunules d'Hippocrate.
[modifier] Énoncé
Soit le triangle ABC rectangle en B et le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).
La lunule LBC est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par .
La lunule LBA est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par .
Alors la somme des aires de LBC et de LBA (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).
[modifier] Démonstration
Soit un triangle ABC rectangle en B
Les deux petites parties blanches sont le demi-cercle de diamètre AC privé du triangle ABC. Leur aire est donc Aire(AC) − Aire(ABC)
Les deux lunules sont les deux demi-cercles de diamètre AB et BC privés des parties blanches. Leur aire est donc Aire(AB) + Aire(BC) − (Aire(AC) − Aire(ABC)). Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que Aire(AB) + Aire(BC) − Aire(AC) = 0. C'est à dire que l'aire des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.
Or le théorème de Pythagore nous dit que AC2 = AB2 + BC2. Donc en multipliant par on a que , ce qui est l'égalité des aires recherchées.