Théorème de préparation de Weierstrass

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Soit \mathbb {K} un corps valué complet non archimédien de caractéristique nulle, associé à une valuation w et une valeur absolue | . | . Soit c > 0 et P(X) = \sum_{k=0}^{m} a_k X^k \in \mathbb {K}[X]. On note \lVert P(X) \rVert_c = \max_{0 \leq i \leq m} (|a_i|c^i).


S'il existe un entier N \in \{1,...,m-1 \} pour lequel \lVert P(X) \rVert_c = |a_N|c^N et \lVert P(X) \rVert_c > |a_i|c^i pour tout i > N, alors :


(1) Il existe deux polynômes Q(X), R(X) \in \mathbb {K}[X] tels que deg(Q) = N, deg(R) = m − N et P(X) = Q(X)R(X).


(2) De plus, on a \lVert Q(X) \rVert_c = \lVert P(X) \rVert_c et \lVert R(X) - 1 \rVert_c < 1.