Théorème de Synge

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Le théorème de Synge (1936) est un théorème des plus étonnants de la géométrie riemannienne en courbure positive. Il montre que la topologie d'une variété riemannienne à courbure positive est relativement simple. Il constitue une application devenue classique de la formule de la variation seconde.

Théorème : * Une variété riemannienne complète (M,g) de courbure sectionnelle strictement positive et de dimension paire est simplement connexe si elle est orientable.

  • Elle est le quotient d'une variété riemannienne orientable par une isométrie involutive sans point fixe si elle n'est pas orientable.

En particulier, le groupe fondamental est le groupe trivial ou Z / 2Z.


Démonstrations
Supposons M orientable et raisonnons par l'absurde. Supposons que M ne soit pas simplement connexe. Alors M possède une géodésique fermée minimisant la longueur dans sa classe d'homotopie libre. Soient p: = γ(0) et \theta:T_pM\rightarrow T_pM le transport parallèle le long de γ. Cette application θ est une isométrie linéaire ayant un point fixe, à savoir γ'(0) = γ'(L). Comme la dimension de M est paire, l'orthogonal de γ'(0) est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension impair sur lequel θ définit une isométrie linéaire. En particulier, les questions de réductions montrent l'existence d'un vecteur orthogonal v (choisi unitaire), tel que : θv = v.
Le transport parallèle de v le long de γ donne une section globale V de \gamma^*TM\rightarrow S^1. Introduisons une variation cs de lacets L-périodiques, avec c0 = γ et \partial_sc_s|_{s=0}=V. La formule de la variation seconde donne :
\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=-\int_0^L K(\gamma'(t),V(t))dt< 0
D'où une contradiction avec le choix de γ ! Donc, M est simplement connexe.
Pour la seconde affirmation, il suffit de considérer un revêtement double orientable de M.