Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

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[modifier] Théorème de Radon-Nikodym

En mathématiques, le théorème de Radon-Nikodym est un résultat de théorie de la mesure. Soit (X,\mathcal{A}) un espace mesurable. Soient ν une mesure positive σ-finie sur (X,\mathcal{A}) et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur (X,\mathcal{A}). Alors :

(i) Il existe un unique couple de mesures μ1 et μ2 telles que :

  • μ = μ1 + μ2
  • μ1 < < ν
  • \mu_2 \perp \nu

μ1 et μ2 sont des mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes).

(ii) Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positve (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout A\in \mathcal{A}, \mu_1(A) = \int_A h\ d\nu.