Théorème de Newton-Hamilton

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de Newton-Hamilton est un théorème de dynamique des champs à force centrale, de trajectoire une conique. La présentation sera ici faite avec une ellipse.

Sommaire

1 Énoncé
2 Applications
3 Démonstration
4 Voir aussi

[modifier] Énoncé

Soit une trajectoire $(T)$ elliptique, décrite sous l'action d'une force centrale issue d'un point $O$ (évidemment intérieur à l'ellipse). Soit $(D)$ la polaire de $O$ par rapport à l'ellipse ; et $P H$ la distance du point matériel courant P à la polaire $(D)$ .

La force centrale est $F \sim \frac{r}{(PH)^3}$ .

[modifier] Applications

La plus connue est celle de la Proposition 11 des Principia. Le théorème de Hamilton n'en est que la généralisation exprimée en géométrie des polaires. Choix de $O$ : le soleil $S$ situé au foyer de l'ellipse.

Sa polaire est la directrice $(D)$ , et donc $P H 3 = e 3 r 3$ . On en tire la force $F \sim \frac{1}{r^2}$ .

Une autre application est la position dégénérée du centre de l'ellipse. Il faut alors être prudent , afin de montrer que $P H 3$ doit être considéré comme constant : on retrouve l'ellipse de Hooke.

Soit un cercle de diamètre "vertical" $O A = 2 R$ . La polaire de $O$ est l'axe "horizontal" $x' O x$ . On retrouve la Proposition 7 des Principia : le point courant est attiré par $F \sim \frac{1}{r^5}$ .

[modifier] Démonstration

Dans une conique (courbe du second ordre), $f (x, y) = a x 2 + 2 c x y + b y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0$ , la droite polaire $(D)$ de l'origine $O$ est $d x + e y + f = 0$ .