Théorème de Midy

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En mathématiques, le Théorème de Midy, appelé ainsi en hommage au mathématicien français E. Midy^[1], est un énoncé concernant le développement décimal des fractions a/p avec p un nombre premier et a/p est le développement en décimale récurrente avec une période paire. Si la période de la représentation décimale de a/p est 2n, alors

$\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}$

et les chiffres dans le deuxieme moitie du développement périodique decimal period sont le complément par rapport a 9 des chiffres correspondants dans la première moitié. En d'autres mots :

a i + a i + n = 9

$a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.$

Par exemple

$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\mbox{ et }05882352+94117647=99999999.$

[modifier] Théorème de Midy étendu

Si k est un diviseur quelconque de la période de l'expansion décimale de a/p (avec p encore premier) alors le Théoreme de Midy peut etre généralisé de la maniere suivante. Le Théorème de Midy étendu^[2] énonce que si une période de la representation décimale de a/p est divisé en blocs de taille k alors la somme de ces blocs est un multiple de $10 k - 1$ . Qui plus est, si k vaut 2 ou 3, la somme des blocs vaut exactement $10 k - 1$ .

Par exemple

$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$

a une période 18. En divisant une période en blocs de taille 6 ou 3 et en sommant, on trouve:

052631 + 578947 + 368421 = 999999

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.$

[modifier] Théorème de Midy dans d'autres bases

Le théoreme de Midy et ses extensions ne dépendent pas de propriétés particulieres de l'expansion décimale, car il marche encore dans n'importe quelle base b, a condition de remplacer $10 k - 1$ par $b k - 1$ et d'effectuer les opérations d'addition dans la base b. Par exemple, en octal

$\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8$

0328 + 745 8 = 777 8

038 + 27 8 + 45 8 = 77 8 .

[modifier] Preuve du Théorème de Midy

De courtes preuves peuvent etre donnees en utilisant des résultats de la Theorie des groupes. Cependant, on peut aussi démontrer ce théoreme en utilisant l'algèbre élémentaire et l'arithmétique modulaire:

Soit p un nombre premier et a/p une fraction comprise entre 0 et 1. Supposons que l'expansion de a/p en base b soit de periode l, alors

$\frac{a}{p}=[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=[a_1a_2\dots a_l.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac{a}{p}$

$\Rightarrow\frac{a}{p}=\frac{N}{b^l-1}$

ou N est l'entier dont l'ecriture en base b est definie par la suite a₁a₂...a_l.

b^l − 1 est un multiple de p parce que (b^l−1)a/p est un entier. De plus, bⁿ−1 n'est pas un multiple de p pour toutes les valeurs de n plus petite que l, car sinon la periode de l'expansion en base b de a/p serait plus petite que l.

Maintenant supposons que l=hk. Alors b^l−1 est un multiple de b^k − 1. Posons b^l − 1 = m(b^k − 1), alors

$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.$

Mais b^l−1 est un multiple de p; b^k−1 n'est pas un multiple de p (car k est plus petit que l); et p est premier; sonc m doit etre un multiple de p et

$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}$

est un entier. En d'autres mots:

$N\equiv0\pmod{b^k-1}.$

Maintenant, découpons a₁a₂...a_l en h parts de taille egale a k, et posons que ces parts soient l'ecriture en base b des entiers N₀...N_h − 1, alors

$N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b$

$N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_2k]_b$

.

.

$N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b$

Pour demontrer le Théorème de Midy étendu en base b nous devons montrer que la somme des h entiers N_i est un multiple de b^k − 1.

Comme b^k est congru a 1 modulo b^k−1, n'importe quelle puissance de b^k sera aussi congru a 1 modulo b^k − 1. donc

$N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i$

$\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}$

ce qui prouve Théorème de Midy étendu en base b.

Pour prouver le théorème de Midy original, il suffit de prendre la cas particulier où h = 2. N₀ et N₁ sont tous les 2 représentés par une séquence de k chiffres en base b, donc ils satisfont tous 2

$0 \leq N_i \leq b^k-1.$

N₀ et N₁ ne peuvent pas tous 2 etre nuls (sinon a/p = 0) et ne peuvent pas tous 2 etre egal a b^k − 1 (sinon a/p = 1), donc

0 < N 0 + N 1 < 2(b k - 1)

et comme N₀ + N₁ est un multiple de b^k − 1, il vient que

N 0 + N 1 = b k - 1.

[modifier] Références

↑ A Theorem on Repeating Decimals; W. G. Leavitt; American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 6 (Jun. - Jul., 1967) , pp. 669-673
↑ Extended Midy's Theorem, Bassam Abdul-Baki, 2005