Théorème de Mertens

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On désigne habituellement sous le nom de premier théorème de Mertens l'estimation suivante, où, par convention, une somme (ou un produit) indicée par p désigne une somme (ou un produit) ne portant que sur les nombres premiers. Pour tout réel x \geq 2, on a :

\sum_{p \leq x} \frac {\ln p}{p} = \ln x + O(1).

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n!.

Le Second théorème de Mertens, appelé aussi formule de Mertens, stipule que, pour tout réel x \geq 2, on a :

\prod_{p \leq x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) = \frac {e^{-\gamma}}{\ln x} \left ( 1 + O \left ( \frac {1}{\ln x} \right ) \right ),

où \gamma \approx 0,577 215 664... est la constante d'Euler-Mascheroni.

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