Théorème de Liouville (variable complexe)

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Le théorème de Liouville (d'après le mathématicien Joseph Liouville) est un résultat fondamental en analyse complexe.

Il affirme que toute fonction entière bornée est constante (rappelons qu'une fonction f de ℂ dans ℂ est bornée s'il existe un réel M tel qu'on ait | f(z) | ≤ M pour tout nombre complexe z).

Le théorème peut être démontré en utilisant la formule intégrale de Cauchy pour montrer que la dérivée complexe de f est identiquement nulle, mais ce n'est pas ainsi que Liouville l'a démontré (d'ailleurs pour un cas particulier important, voir ci-dessous), et plus tard Cauchy disputa à Liouville la paternité du résultat. L'Histoire a cependant jugé qu'il n'y avait pas là manifestation de la loi de Stigler : Cauchy aurait pu facilement le démontrer avant Liouville mais ne l'a pas fait.

Le théorème est considérablement amélioré par le petit théorème de Picard, qui énonce que toute fonction entière non bornée a pour image ℂ à l'exception au plus d'un point.

En terme de surface de Riemann, le théorème peut être généralisé de la manière suivante: si M est une surface de Riemann parabolique (le plan complexe ℂ par exemple) et si N est une surface hyperbolique (un disque ouvert par exemple), alors toute fonction holomorphe f : M → N doit être constante.

Démonstration du théorème

Pour une fonction f vérifiant les hypothèses, nous pouvons écrire

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k

son développement en série de Taylor en 0, ce qui implique

|a_k| = \left|{1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f(z)\over (z-0)^{k+1}}\,\mathrm{d}z\right| = {1 \over 2 \pi} \left|\oint_{C_r} {f(z)\over z^{k+1}}\,\mathrm{d}z\right|

où Cr est le cercle de centre 0 et de rayon r. En majorant par la valeur absolue sous le symbole d'intégrale, nous obtenons

\left| \oint_{C_r} {f(z)\over z^{k+1}}\,\mathrm{d}z\right| \le \oint_{C_r} {|f(z)|\over |z|^{k+1}}\,\mathrm{d}z.

Maintenant nous pouvons utiliser l'hypothèse que pour tout z, |f(z)|\leq M (puisque f est donnée bornée), et le fait que | z | = r sur le cercle Cr. Nous obtenons

\oint_{C_r} {|f(z)|\over |z|^{k+1}}\,\mathrm{d}z \le \oint_{C_r} {M\over r^{k+1}}\,\mathrm{d}z.

Alors,

|a_k| \le {1 \over 2\pi} {M \over r^{k+1}} {2\pi r} = {r M \over r^{k+1}} = {M \over r^k}.

Faisons maintenant tendre r vers l'infini ainsi le cercle Cr devient de plus en plus grand. Si k est supérieur à 0, M/rk tends vers zéro et donc ak doit tendre vers zéro.

Cependant, si k=0, r0 = 1 (r ≠ 0 puisque r tend vers l'infini), donc a0 est le seul terme qui reste dans la série de Taylor, et nous obtenons le résultat.

[modifier] Utilisations

  • Le théorème de Liouville est souvent utilisé pour donner une démonstration courte et élégante du théorème fondamental de l'algèbre.
  • Il est aussi utilisé pour établir qu'une fonction elliptique sans pôles est forcément constante ; c'est d'ailleurs cela que Liouville avait primitivement établi.