Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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C'est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.
[modifier] Enoncé
Soit a un nombre algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Alors il existe une constante c > 0 telle que pour tout rationnel, , on ait:
.
En 1844, Liouville en déduit les premiers exemples de nombres transcendants comme la somme des inverses des 10n!
[modifier] Démonstration du théorème
Soit tel que .
Pour tout rationnel , on a entier car , et Y n'est pas nul, puisque . Donc :
.
Si , on a immédiatement . Sinon, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a
Posons C' = max[a − 1,a + 1] | P'(x) | , et C = min(1,1 / C'). On a dans tous les cas .