Théorème de Legendre

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Le théorème de Legendre qui suit concerne les équations diophantiennes de la forme \, ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 où les coefficients \, a,b,c satisfont les hypothèses suivantes :


(i) \, a > 0, \, b < 0 et \, c < 0,


(ii) \, a,b,c sont sans facteur carré et premiers entre eux deux à deux.



Le théorème de Legendre stipule alors que l'équation diophantienne ci-dessus a une solution (non triviale) si et seulement si :

\, -ab est résidu quadratique \, \pmod c,

\, -bc est résidu quadratique \, \pmod a

et

\, -ca est résidu quadratique \, \pmod b,