Théorème de Krull

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental^{[réf. nécessaire]} établissant l'existence d'idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs. Son énoncé est équivalent à l'axiome du choix. En 1929, le mathématicien allemand Wolfgang Krull (16 aout 1899 - 12 avril 1971) l'a démontré en admettant le lemme de Zorn^[1].

[modifier] Énoncé du théorème de Krull

Les anneaux commutatifs sont les objets d'étude de l'algèbre commutative. La définition est supposée connue. Un idéal I d'un anneau commutatif A est un sous-groupe additif I de A stable par multiplication extérieure par les éléments de A. Le théorème de Krull s'énonce :

Tout idéal d'un anneau commutatif non réduit à 0 est inclus dans un idéal maximal (pour l'inclusion).

La démonstration est une application immédiate du lemme de Zorn. En particulier, tout anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal maximal, a fortiori au moins un idéal premier.

[modifier] Conséquences

Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.

Le spectre de A n'est pas vide.
Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
Le théorème de Krull permet de construire une clôture algébrique d'un corps commutatif (des constructions alternatives se basent sur le théorème de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).