Théorème de Kolmogorov-Sinai

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Le théorème de Kolmogorov-Sinai est un outil permettant de calculer l'entropie métrique d'un système dynamique mesuré connaissant une partition mesurable particulière.

[modifier] Énoncé

Soit (X, \mathfrak{M}, \mu, f) un système dynamique mesuré préservant la mesure.

Si α est une partition mesurable de X telle que la suite \Big(\bigvee_{i=0}^{n} f^{-i}(\alpha)\Big)_{n \in \N} engendre la tribu \mathfrak{M}, ou bien si f est inversible (f-1 est mesurable et préserve la mesure) et la suite \Big(\bigvee_{i=-n}^{n} f^{-i}(\alpha)\Big)_{n \in \N} engendre la tribu \mathfrak{M} alors on dit que α est génératrice.

Le théorème de Kolmogorov-Sinai affirme que si α est génératrice, alors h(f) = h(f,α).