Théorème de König-Huyghens
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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huyghens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.
[modifier] Énoncé en probabilités
Le théorème de König-Huygens énonce :
Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :
- .
La démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :
- Le développement du binôme de Newton ;
- La linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
- L'espérance d'une constante vaut cette constante.
Ces trois propriétés rappelées impliquent :
- .
[modifier] Énoncé en statistiques
Il stipule que, pour tout réel m' et pour toute série statistique (xi,ni)i = 1...k de moyenne m et d'effectif total n, on a
Pour m' = 0, on retrouve la simplification classique de la variance
Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.
En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré {(xi,ni)}i = 1...k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système {(Ai,ai)i = 1...k} de barycentre G :
En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient
Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.