Théorème de Jordan-Hölder
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Sommaire |
[modifier] Définition
Soit G un groupe fini. On appelle suite de Jordan-Hölder une suite G0, G1, ..., Gn de groupes tels que :
- G0 soit le groupe nul et Gn soit G
- Gi soit strictement inclus dans Gi+1
- Gi soit distingué dans Gi+1
Une telle suite est dite maximale quand on ne peut introduire un groupe entre deux groupes.
[modifier] Exemples
- Pour tout groupe fini G (excepté le groupe nul), la suite {e}, G est une suite de Jordan-Hölder. Elle n'est maximale que si G est simple.
- est une suite de Jordan-Hölder maximale.
- Un groupe est résoluble quand il admet une suite de Jordan-Hölder dont tous les quotients (Gi+1/Gi) sont commutatifs et, si la suite est maximale, les groupes quotients sont cycliques et d'ordre premier. C'est cette dernière assertion que Galois utilisa pour montrer que résoluble est équivalent à résoluble par radicaux.
[modifier] Le théorème de Jordan-Hölder
Soit G un groupe fini, alors :
- G admet au moins une suite de Jordan-Hölder.
- Toutes les suites maximales ont la même longueur.
- Les quotients sont les mêmes mais peuvent être présentés dans un ordre différent.
[modifier] Exemples
- Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites maximales suivantes :
dont les quotients sont Z/3Z puis Z/2Z pour la première et Z/2Z puis Z/3Z pour la seconde.
[modifier] Généralisation
Dans le cadre des catégories (ou structures), on peut généraliser le concept des suites de Jordan-Hölder en remplaçant les inclusions par les monomorphismes (ou fonctions injectives) qui permettent d'avoir un quotient. Mais on n'a pas forcément le théorème de Jordan-Hölder.
- Ainsi dans le cadre des espaces vectoriels un drapeau est une suite de Jordan-Hölder maximale, les quotients étant à chaque fois un espace vectoriel de dimension 1. Le théorème est valide et la taille d'une suite maximale est la dimension de l'espace vectoriel.
[modifier] Liens externes
(en) Could Jordan have proved the Jordan-Hölder theorem? par Dirk Schlimm