Théorème de Gerschgorin

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Aronovitch Gershgorin. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Gerschgorin ou Geršgorin.

Sommaire

1 Le théorème
- 1.1 Énoncé
- 1.2 Démonstration
2 Voir aussi
- 2.1 Références
- 2.2 Liens externes

[modifier] Le théorème

[modifier] Énoncé

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (a_ij). Pour chaque indice de ligne i entre 1, et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

$D_i=\left\{z\in \mathbb{C}, |a_{ii}-z|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}| \right\}=D(a_{ii},R_i)$

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon R_i.

Théorème: toute valeur propre de A appartient à l'un au moins des disques de Gerschgorin.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

$\tilde{D}_j=\left\{z\in \mathbb{C}, |a_{jj}-z|\leq \sum_{i\neq j}|a_{ij}| \right\}=D(a_{jj},\tilde{R}_j)$

[modifier] Démonstration

Soient λ une valeur propre de A et x un vecteur propre associé, de composantes notées (x_j). Elles vérifient les relations

$(\lambda - a_{ii})x_i = \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j$

pour i compris entre 1 et n. En choisissant un indice i pour lequel le module de x_i est maximal. Puisque x est vecteur propre, |x_i| est non nul et il est possible de former le quotient

$|a_{ii} - \lambda| = \left|\sum_{j\neq i} a_{ij}\frac{x_j}{x_i}\right|\leq \sum_{j\neq i} |a_{ij}|$

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

Patrick Lascaux, Raymond Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, tome 1 : Méthodes directes [détail des éditions]
(de) Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
(en) Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.