Théorème de Gauss-Wantzel
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En géométrie, le théorème de Gauss-Wantzel précise la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas.
Théorème de Gauss-Wantzel — Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.
Gauss avait pressenti cette condition nécessaire et suffisante mais n'avait démontré en 1796 qu'une implication : Si un polygone régulier possède n côtés et si n est une puissance de 2 ou est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers différents alors ce polygone est constructible. C'est une analyse sur les polynômes cyclotomiques qui permet la démonstration de cette implication. On y trouve les détails dans l'article associé. Il avait laissé la réciproque sous forme d'une conjecture.
Pierre-Laurent Wantzel dans sa publication de 1837 démontre la réciproque grâce à sa condition nécessaire pour qu'un nombre soit constructible (théorème de Wantzel). C'est la notion de tour d'extension quadratique qui permet d'en apporter la preuve.
Le nombre 5 est de Fermat car il est premier et s'écrit 2² + 1. Ainsi la construction d'un polygone de 5 côtés est réalisable. Un polygone à 20 côtés est aussi constructible puisqu'il suffit de partir du polygone à 5 côtés de prendre la bissectrice de chaque angle (à la règle et au compas) d'obtenir un polygone à 10 côtés et de recommencer l'opération. Et un polygone de 15 côtés aussi car 15 est le produit de deux nombres de Fermat. Euclide en avait d'aIlleurs déjà établi une construction.
Le nombre 17 est de Fermat car s'écrit 24 + 1 et il est premier. Un polygone à 17 côtés est aussi constructible et Gauss en a donné une méthode de construction.
En revanche, 7 n'est pas un nombre de Fermat et l'heptagone régulier n'est pas constructible. 9 = 3² est le carré d'un nombre de Fermat premier donc l'ennéagone régulier n'est pas constructible (cf Tour d'extension quadratique).
[modifier] Résultats détaillés
Les cinq nombres de Fermat premiers connus sont :
Ainsi un polygone à n côtés est constructible si :
Tandis qu'il n'est pas constructible à la règle et au compas si :
