Théorème de Faltings

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En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

[modifier] Énoncé

Soit l'équation définie de la manière suivante :

$P(x_1, ... x_n) = 0\,$

Avec P un polynôme à coefficients rationnels. Le problème est de trouver le nombre de solutions X de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solution dépend du genre de la courbe C associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir 2 morceaux distincts).

Si le genre vaut 0 (par exemple une droite), alors :
- Soit $X = \infty$ ;
- Soit $X = 0$ .
Si le genre vaut 1, alors :
- Soit l'équation n'a pas de solutions ;
- Soit C est une courbe elliptique. En 1920, Mordell a démontré que l'ensemble des points rationnels forme un groupe abélien de type fini.
Si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

[modifier] Application

[modifier] Équation de Fermat

Soit l'équation :

$x^n+y^n=z^n\,$

Elle correspond à une courbe de genre $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ . Ainsi, pour $n$ supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le Grand théorème de Fermat, alternative à celle suivie par Andrew Wiles, n'a donc pas encore abouti.